Resolva as Equações Diferenciais:
d yd x-5 y=-52 x y^3.

Passo 1

Primeiro, anota a equação e identifica o tipo: temos dydx-5y=-tfrac52xy^3. Isso é uma equação de Bernoulli, pois tem a forma dydx+P(x)y=Q(x)y^n com P(x)=-5, Q(x)=-tfrac52x e n=3.
Para transformar numa equação linear, usamos a substituição z=y^1-n=y^-2. Sabemos pela teoria de Bernoulli que z=y^1-n satisfaz
dzdx+(1-n)P(x),z=(1-n)Q(x)

Passo 2

Aqui 1-n=1-3=-2, então
dzdx-2l(-5r)z=-2l(-tfrac52xr)Longrightarrowdzdx+10z=5x

Passo 3

Agora temos uma equação linear em z. O fator integrante é
mu(x)=e^integral10,dx=e^10x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x) vem
ddxl(z e^10xr)=5x e^10x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
z e^10x=integral5x e^10x,dx +C

Passo 6

Fazendo integração por partes em integral5x e^10xdx: seja u=5x, dv=e^10xdx, então du=5dx, v=tfrac110e^10x. Assim
integral5x e^10xdx=5x e^10x10-integral5e^10x10dx=x e^10x2-e^10x20+C1=e^10xl(x2-120r)+C1

Passo 7

Logo
z e^10x=e^10xl(x2-120r)+C1Longrightarrow z=x2-120+Ce^-10x,

Passo 8

onde C é constante geral. Lembra que z=y^-2, então
y^-2=x2-120+Ce^-10x

Passo 9

Por fim, isolamos y:

Resposta

A solução geral é
y(x)=pmraiz1x2-tfrac120+Ce^-10x,
onde C é constante de integração.

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