A equação
x^2 y^prime prime+y=0
possui um ponto singular regular em x=0.
(b) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno do ponto singular. Res: y1(x)=x-12 x^2+112 x^3-ldots e y2(x)= -y1(x) ln x+1-34 x^2+ldots.

Passo 1

A equação dada é x y’’+y=0 com ponto singular regular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius, ou seja, assumir uma solução da forma y(x)=∑_{n=0}^∞a_n x^{n+r} e determinar r (raízes da equação indicial) e os coeficientes a_n.

Passo 2

Substituindo y=∑_{n=0}^∞a_n x^{n+r} em x y’’+y=0 e igualando o menor expoente a zero, obtemos a equação indicial r(r−1)=0, cujas raízes são r_1=1 e r_2=0.

Passo 3

Para r_1=1 tomamos a_0=1 e achamos a recorrência
an+1=-an(n+1+r)(n+r)=-an(n+2)(n+1)
Logo os três primeiros termos não nulos de y_1 são
$$y_1(x)=a_0 x^{1}+a_1 x^{2}+a_2 x^{3}+
\cdots =x-\frac12x2+\frac1{12}x3+\cdots.$$

Passo 4

Como r_1−r_2=1 é inteiro, a segunda solução envolve logaritmo:
y2(x)=C,y1(x)ln x + x^r2sumn=0^∞bn x^n
Impondo x y_2’’+y_2=0 e escolhendo b_0=1, b_1=0, a recorrência dá b_2=-3/4. Assim os três primeiros termos não nulos são
y2(x)=-y1(x)ln x +1 -34x^2+cdots

Passo 5

Concluímos que as duas soluções linearmente independentes em torno de x=0 têm expansões conforme abaixo.

Resposta

y1(x)=x-tfrac12x^2+tfrac112x^3-cdots
y2(x)=-y1(x)ln x+1-tfrac34x^2+cdots

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