A equação
possui um ponto singular regular em
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(b) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno do ponto singular. Res:
e
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(b) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno do ponto singular. Res:
Passo 1
A equação dada é x y’’+y=0 com ponto singular regular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius, ou seja, assumir uma solução da forma y(x)=∑_{n=0}^∞a_n x^{n+r} e determinar r (raízes da equação indicial) e os coeficientes a_n.
Passo 2
Substituindo y=∑_{n=0}^∞a_n x^{n+r} em x y’’+y=0 e igualando o menor expoente a zero, obtemos a equação indicial r(r−1)=0, cujas raízes são r_1=1 e r_2=0.
Passo 3
Para r_1=1 tomamos a_0=1 e achamos a recorrência
Logo os três primeiros termos não nulos de y_1 são
$$y_1(x)=a_0 x^{1}+a_1 x^{2}+a_2 x^{3}+
\cdots =x-\frac12x2+\frac1{12}x3+\cdots.$$
Passo 4
Como r_1−r_2=1 é inteiro, a segunda solução envolve logaritmo:
Impondo x y_2’’+y_2=0 e escolhendo b_0=1, b_1=0, a recorrência dá b_2=-3/4. Assim os três primeiros termos não nulos são
Passo 5
Concluímos que as duas soluções linearmente independentes em torno de x=0 têm expansões conforme abaixo.