A equação
é conhecida como equação de Ricatti.
Sabendo que
é uma solução de Ricatti
, determine as demais soluções.
Sabendo que
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de Riccati dada:
. A equação de Riccati é um tipo especial de equação diferencial não linear. Sabemos que
é uma solução particular. Para encontrar as demais soluções, precisamos utilizar essa solução conhecida para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente é uma solução da equação. Calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original:
A igualdade confirma que
é de fato uma solução.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as demais soluções. Para isso, fazemos uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear. Seja
, onde
é a solução particular. Substituindo na equação original:
Passo 4
Calculamos a derivada:
Como sabemos que
, substituímos:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Simplificando a derivada:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Para simplificar, deixamos a integral em termos de
:
Passo 9
Finalmente, lembrando que
, substituímos
encontrado:
Esta é a forma geral das soluções da equação de Riccati dada.
Resposta
As demais soluções da equação são dadas por:
onde
é uma constante de integração.