A equação y^prime+p(x) y+q(x) y^2=f(x) é conhecida como equação de Ricatti.
Sabendo que y(x)=x^2 é uma solução de Ricatti y^prime=y^2+2 x-x^4, determine as demais soluções.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de Riccati dada: . A equação de Riccati é um tipo especial de equação diferencial não linear. Sabemos que é uma solução particular. Para encontrar as demais soluções, precisamos utilizar essa solução conhecida para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se y' = ddx(x^2) = 2x realmente é uma solução da equação. Calculamos a derivada de 2x = (x^2)^2 + 2x - x^4 :
2x = x^4 + 2x - x^4
Substituindo 2x = 2x e na equação original:
A igualdade confirma que é de fato uma solução.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as demais soluções. Para isso, fazemos uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear. Seja y' = y^2 + 2x - x^4 , onde ( yp + 1u )' = ( yp + 1u )^2 + 2x - x^4 é a solução particular. Substituindo na equação original:

Passo 4

Calculamos a derivada:
yp' + ( 1u )' = yp^2 + 2ypu + 1u^2 + 2x - x^4
Como sabemos que yp' + ( 1u )' = yp' + 2ypu + 1u^2 , substituímos:
( 1u )' = 2ypu + 1u^2
Cancelando dos dois lados:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por u^2 ( 1u )' = 2yp u + 1 para simplificar:
u' cdot u = 2x^2 u + 1
Simplificando a derivada:
u' = 2x^2 + 1u

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para u' - 2x^2 u = 1 :
mu(x) = e^-integral 2x^2 dx = e^-23x^3
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por e^-23x^3 u' - 2x^2 e^-23x^3 u = e^-23x^3 :
ddx ( e^-23x^3 u ) = e^-23x^3
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados:
e^-23x^3 u = integral e^-23x^3 dx + C
Para simplificar, deixamos a integral em termos de u = e^23x^3 ( integral e^-23x^3 dx + C ) :

Passo 9

Finalmente, lembrando que y = x^2 + 1e^23x^3 ( integral e^-23x^3 dx + C ) , substituímos encontrado:
Esta é a forma geral das soluções da equação de Riccati dada.

Resposta

As demais soluções da equação são dadas por:
y(x) = x^2 + 1e^23x^3 ( integral e^-23x^3 dx + C )
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados