Dê a equação reduzida da esfera inscrita no elipsoide \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1
Escolha uma opção:
a. x^{2}+y^{2}+z^{2}=16
b. x^{2}+y^{2}+z^{2}=36
c. x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
d. x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
e. x^{2}+y^{2}+z^{2}=25

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da maior esfera centrada na origem e inscrita no elipsoide
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{16} = 1.
O conteúdo envolve geometria de superfícies quádricas: elipsoide e esfera inscrita.

Passo 2

Num elipsoide na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1
os semieixos são a, b e c. Aqui temos a=2, b=3 e c=4.

Passo 3

A maior esfera inscrita num elipsoide centrado na origem tem raio igual ao menor semieixo, pois é nele que a esfera “encaixa” primeiro. Logo
r = \min\{a,b,c\} = 2.

Passo 4

A equação reduzida da esfera de raio r=2 é
x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2^{2} = 4.

Resposta

d. x^{2}+y^{2}+z^{2}=4

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