Dar exemplos, em cada caso, de operadores lineares em \mathbb{R}^{2} tais que;
T \circ T=T mas T \neq 0 e T \neq I d.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de operadores lineares T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 tais que
T\circ T = T
mas T não é nem o operador zero nem o operador identidade.
O conteúdo da matéria é o de operadores idempotentes (ou projeções), para as quais a condição T^2=T implica que os únicos autovalores possíveis são 0 e 1, e um operador não-trivial (nem zero nem identidade) terá dimensão de imagem igual a 1.

Passo 2

Definimos o primeiro exemplo T_1 como a projeção ortogonal sobre o eixo x. Em coordenadas canônicas (x,y):
T_1(x,y) = (x,0).
Em matriz, na base \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}:
T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
Verificação: para todo (x,y),
T_1^2(x,y) = T_1(T_1(x,y)) = T_1(x,0) = (x,0) = T_1(x,y),
logo T_1\circ T_1=T_1. Além disso T_1\neq0 (pois T_1(1,0)=(1,0)\neq(0,0)) e T_1\neq \mathrm{Id} (pois T_1(0,1)=(0,0)\neq(0,1)).

Passo 3

Para variar a direção da projeção, definimos T_2 como projeção ortogonal sobre a reta y=x. Em coordenadas:
T_2(x,y) = \Bigl(\tfrac{x+y}{2},\,\tfrac{x+y}{2}\Bigr).
A matriz de T_2 é
T_2 = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
Verificamos a idempotência:
T_2^2 = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}\;\frac12\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = \frac14\begin{pmatrix}2&2\\\ 2&2\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = T_2.
E claramente T_2\neq0 e T_2\neq\mathrm{Id}.

Resposta

Como exemplos de operadores idempotentes não trivialmente zero nem identidade em \mathbb{R}^2, basta tomar:
(a) Projeção sobre o eixo x:
T_1(x,y)=(x,0),\quad T_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
(b) Projeção sobre a reta y=x:
T_2(x,y)=\Bigl(\tfrac{x+y}{2},\tfrac{x+y}{2}\Bigr),\quad T_2 = \tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.

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