Para quais valores de k na equação \frac{x^{2}}{-3 k+18}+\frac{y^{2}}{-3 k-12}+\frac{z^{2}}{-3 k+6}=1, teremos um hiperboloide de duas folhas com elipses em x ?
Escolha uma opção:
a. 2<k<6
b. k>6
c. -4<k<2
d. Não é possível
e. k<-4

Passo 1

O enunciado apresenta a quádica
\frac{x^{2}}{-3k+18}+\frac{y^{2}}{-3k-12}+\frac{z^{2}}{-3k+6}=1
e pede os valores de k para os quais isso é um hiperboloide de duas folhas com eixo no x (ou seja, as seções transversais em planos x=\text{const} são elipses). Vamos usar o conceito de sinais das razões quadráticas em quádricas.

Passo 2

Para obter um hiperboloide de duas folhas com eixo em x, a forma padrão é
\frac{x^{2}}{A}-\frac{y^{2}}{B}-\frac{z^{2}}{C}=1,
onde A>0, B>0 e C>0. Em outras palavras, no nosso caso precisamos de
-3k+18>0,\quad -3k-12<0,\quad -3k+6<0,
pois os denominadores de y^{2} e z^{2} devem ser negativos (tornando os termos negativos) e o de x^{2} positivo.

Passo 3

Resolvendo cada desigualdade:
  1. -3k+18>0 -3k>-18 k<6.
  2. -3k-12<0 -3k<12 k>-4.
  3. -3k+6<0 -3k<-6 k>2.

Passo 4

Combinando as três condições, obtemos
2<k<6,
que garante denominador positivo em x^{2} e negativos em y^{2},z^{2}, formando o hiperboloide de duas folhas ao longo de x.

Resposta

a. 2<k<6

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