1. Para a equação
x^{3}+x-1=0
reescreva-a como x=g(x) de duas maneiras distintas. Determine, para cada forma, se a iteração converge no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{3}+x-1=0
e pede duas reescritas da forma x=g(x) (duas escolhas distintas de g) e, para cada uma, determinar se a iteração
x_{n+1}=g(x_n)
converge quando x_{0}\in[0,1]. Informações relevantes: o domínio de interesse é o intervalo [0,1] e estamos procurando fixed points (raízes) comuns às duas formas g, isto é pontos \alpha\in[0,1] tais que \alpha=g(\alpha) e \alpha satisfaz a equação original.

Passo 2

Primeira reescrita: isole x de modo direto:
x^{3}+x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1-x^{3}.
Definimos
g_{1}(x)=1-x^{3}.
Verificação rápida: se x satisfaz x=g_{1}(x) então x=1-x^{3} e portanto x^{3}+x-1=0, ou seja as soluções fixas de g_{1} são exatamente as raízes da equação dada.

Passo 3

Analisando g_{1} em [0,1]:
  • Imagem: para x\in[0,1] temos x^{3}\in[0,1], então g_{1}(x)=1-x^{3}\in[0,1].Logo g_{1} mapeia [0,1] em si.
  • Derivada: calcule g_{1}'(x) = -3x^{2}.Em módulo, para x\in[0,1], |g_{1}'(x)| = 3x^{2}\le 3,e o supremo é 3>1. Pelo critério da contração (Teorema do Ponto Fixo de Banach), para garantir convergência para qualquer x_{0}\in[0,1] precisamos de uma constante L<1 tal que |g'(x)|\le L em todo [0,1]. Aqui isso falha (o supremo é 3), portanto não podemos concluir convergência global por esse teorema.

Passo 4

Além do teste de contração falhar, examinemos a natureza do ponto fixo (a raiz \alpha em (0,1)). Primeiro localizamos a raiz aproximadamente por teste de sinais:
f(x)=x^{3}+x-1,\qquad f(0{,}6)=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184,\quad f(0{,}7)=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043.
Portanto a raiz \alpha está em (0{,}6,0{,}7). Assim
3\alpha^{2} > 3\cdot(0{,}6)^{2}=3\cdot0{,}36=1{,}08>1,
logo em \alpha temos |g_{1}'(\alpha)|=3\alpha^{2}>1. Isso significa que o ponto fixo é repulsor: pequenas perturbações em torno de \alpha tendem a afastar-se, não a convergir. Conclusão: a iteração com g_{1} não é, em geral, convergente em [0,1] (não é contração e o ponto fixo é instável).

Passo 5

Segunda reescrita: manipule a equação de outra forma útil. Tome
x^{3}+x=1 \quad\Longrightarrow\quad x(1+x^{2})=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{1+x^{2}}.
Definimos
g_{2}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Novamente, se x=g_{2}(x) então x(1+x^{2})=1 e recuperamos a equação original; portanto as fixas de g_{2} são as raízes buscadas.

Passo 6

Analisando g_{2} em [0,1]:
  • Imagem: para x\in[0,1] temos 1+x^{2}\in[1,2] e, portanto, g_{2}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\in\left[\frac{1}{2},1\right]\subset[0,1].Logo g_{2} mapeia [0,1] em si.
  • Derivada: calcule g_{2}'(x) = -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.Como a função é não positiva na derivada, consideramos o módulo |g_{2}'(x)|=\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}},\qquad x\in[0,1].

Passo 7

Encontrar o supremo de |g_{2}'(x)| em [0,1]. Defina
h(x)=\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Derivando (cálculo passo a passo):
h'(x)=2(1+x^{2})^{-2} + 2x\cdot(-2)(1+x^{2})^{-3}\cdot 2x =2(1+x^{2})^{-3}\bigl((1+x^{2})-4x^{2}\bigr) =2(1+x^{2})^{-3}(1-3x^{2}).
Logo h'(x)=0 quando 1-3x^{2}=0, i.e. x=1/\sqrt{3} (único crítico em [0,1]). Avaliando h em x=1/\sqrt{3}:
h\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =\frac{2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(1+\frac{1}{3}\right)^{2}} =\frac{2/\sqrt{3}}{(4/3)^{2}} =\frac{2/\sqrt{3}}{16/9} =\frac{9}{8\sqrt{3}}.
Valor numérico aproximado:
\frac{9}{8\sqrt{3}}\approx 0{,}6495<1.
Nos extremos, h(0)=0 e h(1)=\dfrac{2}{(1+1)^{2}}=\dfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}. Portanto o supremo de |g_{2}'(x)| em [0,1] é
L=\frac{9}{8\sqrt{3}}\approx 0{,}6495<1.
Assim |g_{2}'(x)|\le L<1 para todo x\in[0,1].

Passo 8

Aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach (explicação curta e prática): se g é contínua em [a,b], g([a,b])\subset[a,b] e existe L<1 tal que |g'(x)|\le L em [a,b], então g é uma contração em [a,b] e, para qualquer x_{0}\in[a,b], a iteração x_{n+1}=g(x_{n}) converge geometricamente para a única raiz fixa em [a,b]. No caso de g_{2} mostramos todas as hipóteses: portanto a iteração com g_{2} converge para a raiz em [0,1] para qualquer x_{0}\in[0,1].

Passo 9

Resumo e interpretação intuitiva amiga:
  • Para g_{1}(x)=1-x^{3} a função mapeia [0,1] em si, mas sua derivada tem módulo máximo 3>1 e, em particular, no ponto fixo \alpha temos |g_{1}'(\alpha)|>1. Isso faz com que o ponto fixo seja repulsor: a iteração não converge em geral em [0,1].
  • Para g_{2}(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}} temos |g_{2}'(x)|\le L<1 em [0,1] com L=\dfrac{9}{8\sqrt{3}}\approx0{,}6495. Assim g_{2} é uma contração em [0,1] e a iteração converge para a raiz única em [0,1] partindo de qualquer x_{0}\in[0,1].

Resposta

Para g(x)=1-x^{3}: não converge em geral no intervalo [0,1] (não é contração; o ponto fixo é repulsor).
Para g(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}: converge para a raiz em [0,1] para qualquer x_{0}\in[0,1] (é uma contração com constante L=\dfrac{9}{8\sqrt{3}}<1).

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