- Para a equação
reescreva-a como
de duas maneiras distintas. Determine, para cada forma, se a iteração converge no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas reescritas da forma
(duas escolhas distintas de
) e, para cada uma, determinar se a iteração
converge quando
. Informações relevantes: o domínio de interesse é o intervalo
e estamos procurando fixed points (raízes) comuns às duas formas
, isto é pontos
tais que
e
satisfaz a equação original.
Passo 2
Primeira reescrita: isole
de modo direto:
Definimos
Verificação rápida: se
satisfaz
então
e portanto
, ou seja as soluções fixas de
são exatamente as raízes da equação dada.
Passo 3
Analisando
em
:
- Imagem: para
temos , então Logo mapeia em si. - Derivada: calcule
Em módulo, para , e o supremo é . Pelo critério da contração (Teorema do Ponto Fixo de Banach), para garantir convergência para qualquer precisamos de uma constante tal que em todo . Aqui isso falha (o supremo é ), portanto não podemos concluir convergência global por esse teorema.
Passo 4
Além do teste de contração falhar, examinemos a natureza do ponto fixo (a raiz
em
). Primeiro localizamos a raiz aproximadamente por teste de sinais:
Portanto a raiz
está em
. Assim
logo em
temos
. Isso significa que o ponto fixo é repulsor: pequenas perturbações em torno de
tendem a afastar-se, não a convergir. Conclusão: a iteração com
não é, em geral, convergente em
(não é contração e o ponto fixo é instável).
Passo 5
Segunda reescrita: manipule a equação de outra forma útil. Tome
Definimos
Novamente, se
então
e recuperamos a equação original; portanto as fixas de
são as raízes buscadas.
Passo 6
Analisando
em
:
- Imagem: para
temos e, portanto, Logo mapeia em si. - Derivada: calcule
Como a função é não positiva na derivada, consideramos o módulo
Passo 7
Encontrar o supremo de
em
. Defina
Derivando (cálculo passo a passo):
Logo
quando
, i.e.
(único crítico em
). Avaliando
em
:
Valor numérico aproximado:
Nos extremos,
e
. Portanto o supremo de
em
é
Assim
para todo
.
Passo 8
Aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach (explicação curta e prática): se
é contínua em
,
e existe
tal que
em
, então
é uma contração em
e, para qualquer
, a iteração
converge geometricamente para a única raiz fixa em
. No caso de
mostramos todas as hipóteses: portanto a iteração com
converge para a raiz em
para qualquer
.
Passo 9
Resumo e interpretação intuitiva amiga:
- Para
a função mapeia em si, mas sua derivada tem módulo máximo e, em particular, no ponto fixo temos . Isso faz com que o ponto fixo seja repulsor: a iteração não converge em geral em . - Para
temos em com . Assim é uma contração em e a iteração converge para a raiz única em partindo de qualquer .
Resposta
Para
: não converge em geral no intervalo
(não é contração; o ponto fixo é repulsor).
Para : converge para a raiz em
para qualquer
(é uma contração com constante
).
Para