- Mostre que a iteração
converge para
se
. Calcule as primeiras 4 iterações para
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a iteração
converge para
sempre que
; (2) calcular as primeiras quatro iterações quando
.
Informações dadas: a regra de recorrência acima e a condição inicial . Não há outras condições ocultas.
Informações dadas: a regra de recorrência acima e a condição inicial
Passo 2
Vamos encontrar os pontos fixos da iteração (valores
tais que
, onde
). Resolvendo
multiplicando ambos os lados por
(válido para
):
Logo os pontos fixos são
. Como estamos considerando
e a iteração preserva positividade (se
então
), o único ponto fixo relevante é
. A meta é mostrar que a sequência converge para esse ponto fixo.
Passo 3
Fazer a conta que vai revelar o comportamento do erro. Subtraindo
da regra e juntando termos:
Reconhecemos a diferença de quadrados no numerador:
Portanto obtemos a identidade muito útil
Essa fórmula mostra o erro da iteração em termos do quadrado do erro anterior, o que já indica convergência rápida quando nos aproximamos de
.
Passo 4
Usar a identidade para deduzir propriedades básicas. Se
então o lado direito da identidade é
, logo
. Em particular, para qualquer
obtemos
e, por indução,
para todo
. Também fica claro que todos
são positivos.
Passo 5
Mostrar que, a partir de
, a sequência é monótona decrescente (se
). Escreva
para
. Da identidade temos
Para
(isto é,
) comparamos
e
:
dividindo por
,
Mas
porque
(verdade óbvia para
). Portanto
sempre que
. Assim, para
a sequência
é decrescente enquanto for maior que
, e pelo Passo 4 é sempre
. Conclusão:
é decrescente e limitada inferiormente por
.
Passo 6
Como
é monótona decrescente e limitada inferiormente por
, ela converge a algum limite
. Tomando limite na recorrência (passando ao limite em ambos os lados) e usando a continuidade da função
, obtemos
Multiplicando por
obtemos
, logo
. Como
, segue
. Assim a sequência converge para
sempre que
. Comentário final: a identidade do Passo 3 também mostra que o erro satisfaz aproximadamente
para
pequeno, ou seja, a convergência é quadrática (muito rápida).
Passo 7
Calcular as primeiras quatro iterações para
fazendo contas exatas em frações:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Cálculo de
(usar frações para exatidão):
Cálculo de
:
Note como a sequência rapidamente se aproxima de
.
Resposta
Converge para
.\n
\n
\n
\n