1. Mostre que a iteração
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{x_{n}}+x_{n}\right)
converge para \sqrt{3} se x_{0}>0. Calcule as primeiras 4 iterações para x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a iteração
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{x_{n}}+x_{n}\right)
converge para \sqrt{3} sempre que x_{0}>0; (2) calcular as primeiras quatro iterações quando x_{0}=1.
Informações dadas: a regra de recorrência acima e a condição inicial x_{0}>0. Não há outras condições ocultas.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos fixos da iteração (valores x tais que x=g(x), onde g(x)=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{3}{x}+x\big)). Resolvendo
x=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{x}+x\right)
multiplicando ambos os lados por 2x (válido para x\neq0):
2x^{2}=x^{2}+3 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=3.
Logo os pontos fixos são x=\pm\sqrt{3}. Como estamos considerando x_{0}>0 e a iteração preserva positividade (se x_{n}>0 então x_{n+1}>0), o único ponto fixo relevante é \sqrt{3}. A meta é mostrar que a sequência converge para esse ponto fixo.

Passo 3

Fazer a conta que vai revelar o comportamento do erro. Subtraindo \sqrt{3} da regra e juntando termos:
x_{n+1}-\sqrt{3} =\frac{1}{2}\left(\frac{3}{x_{n}}+x_{n}\right)-\sqrt{3} =\frac{x_{n}^{2}+3-2\sqrt{3}x_{n}}{2x_{n}}.
Reconhecemos a diferença de quadrados no numerador:
x_{n}^{2}+3-2\sqrt{3}x_{n}=(x_{n}-\sqrt{3})^{2}.
Portanto obtemos a identidade muito útil
\boxed{\,x_{n+1}-\sqrt{3}=\frac{(x_{n}-\sqrt{3})^{2}}{2x_{n}}\,}.
Essa fórmula mostra o erro da iteração em termos do quadrado do erro anterior, o que já indica convergência rápida quando nos aproximamos de \sqrt{3}.

Passo 4

Usar a identidade para deduzir propriedades básicas. Se x_{n}>0 então o lado direito da identidade é \ge0, logo x_{n+1}\ge\sqrt{3}. Em particular, para qualquer x_{0}>0 obtemos x_{1}\ge\sqrt{3} e, por indução, x_{n}\ge\sqrt{3} para todo n\ge1. Também fica claro que todos x_{n} são positivos.

Passo 5

Mostrar que, a partir de n=1, a sequência é monótona decrescente (se x_{n}\neq\sqrt{3}). Escreva d_{n}=x_{n}-\sqrt{3}\ge0 para n\ge1. Da identidade temos
d_{n+1}=\frac{d_{n}^{2}}{2x_{n}}.
Para d_{n}>0 (isto é, x_{n}>\sqrt{3}) comparamos d_{n+1} e d_{n}:
d_{n+1}<d_{n}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d_{n}^{2}}{2x_{n}}<d_{n}
dividindo por d_{n}>0,
\frac{d_{n}}{2x_{n}}<1.
Mas \frac{d_{n}}{2x_{n}}=\frac{x_{n}-\sqrt{3}}{2x_{n}}<1 porque -\sqrt{3}<x_{n} (verdade óbvia para x_{n}>0). Portanto d_{n+1}<d_{n} sempre que d_{n}>0. Assim, para n\ge1 a sequência (x_{n}) é decrescente enquanto for maior que \sqrt{3}, e pelo Passo 4 é sempre \ge\sqrt{3}. Conclusão: (x_{n})_{n\ge1} é decrescente e limitada inferiormente por \sqrt{3}.

Passo 6

Como (x_{n})_{n\ge1} é monótona decrescente e limitada inferiormente por \sqrt{3}, ela converge a algum limite L\ge\sqrt{3}. Tomando limite na recorrência (passando ao limite em ambos os lados) e usando a continuidade da função g, obtemos
L=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{L}+L\right).
Multiplicando por 2L obtemos 2L^{2}=L^{2}+3, logo L^{2}=3. Como L\ge\sqrt{3}>0, segue L=\sqrt{3}. Assim a sequência converge para \sqrt{3} sempre que x_{0}>0. Comentário final: a identidade do Passo 3 também mostra que o erro satisfaz aproximadamente d_{n+1}\approx C d_{n}^{2} para d_{n} pequeno, ou seja, a convergência é quadrática (muito rápida).

Passo 7

Calcular as primeiras quatro iterações para x_{0}=1 fazendo contas exatas em frações:
Cálculo de x_{1}:
x_{1}=\frac{1}{2}\Big(\frac{3}{1}+1\Big)=\frac{1}{2}(3+1)=2.
Cálculo de x_{2}:
x_{2}=\frac{1}{2}\Big(\frac{3}{2}+2\Big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{3}{2}+\frac{4}{2}\Big)=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{4}=1,75.
Cálculo de x_{3} (usar frações para exatidão):
x_{3}=\frac{1}{2}\Big(\frac{3}{7/4}+\frac{7}{4}\Big) =\frac{1}{2}\Big(\frac{12}{7}+\frac{7}{4}\Big) =\frac{1}{2}\Big(\frac{48}{28}+\frac{49}{28}\Big) =\frac{1}{2}\cdot\frac{97}{28}=\frac{97}{56}\approx 1,732142857.
Cálculo de x_{4}:
x_{4}=\frac{1}{2}\Big(\frac{3}{97/56}+\frac{97}{56}\Big) =\frac{1}{2}\Big(\frac{168}{97}+\frac{97}{56}\Big) =\frac{1}{2}\cdot\frac{18817}{5432}=\frac{18817}{10864}\approx 1,732050810.
Note como a sequência rapidamente se aproxima de \sqrt{3}\approx1,732050808\ldots.

Resposta

Converge para \sqrt{3}.\n \;x_{1}=2\n \;x_{2}=\frac{7}{4}=1,75\n \;x_{3}=\frac{97}{56}\approx1,732142857\n \;x_{4}=\frac{18817}{10864}\approx1,732050810

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