Para a equação que representa o problema presa-predador - Equação de Lotka-Volterra:
& doty1=a y1-c y1 y2 & doty2=-b y2+d y1 y2
Linearize o sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente “linearizar” o sistema presa-predador de Lotka–Volterra em torno de um ponto de equilíbrio. Isso cai em “sistemas dinâmicos” e “linearização via Jacobiana”. Em resumo, precisamos:
  1. Achar um ponto de equilíbrio .
  2. Montar a matriz Jacobiana do sistema original.
  3. Avaliar essa Jacobiana naquele ponto.
  4. Escrever o sistema linearizado .

Passo 2

Primeiro, achamos o(s) ponto(s) de equilíbrio resolvendo
dot y1 = a,y1 - c,y1,y2 = 0, dot y2 = -b,y2 + d,y1,y2 = 0
Isso dá duas soluções:
  1. (trivial).
  2. (não trivial).
    Vamos escolher a segunda, porque é o equilíbrio onde as populações coexistem.

Passo 3

Agora, calculamos a Jacobiana f1(y1,y2)=a,y1-c,y1y2, f2(y1,y2)=-b,y2+d,y1y2, . Definindo
J = partial f1partial y1 & partial f1partial y2[6pt] partial f2partial y1 & partial f2partial y2 = a - c,y2 & -c,y1[4pt] d,y2 & -b + d,y1
a Jacobiana é
[
J =

.
]

Passo 4

Basta agora avaliar Jl(tfracbd,tfracacr) = a - c,ac & -c,bd[4pt] d,ac & -b + d,bd = 0 & -c,bd[4pt] d,ac & 0 em :
[
J\Bigl(\tfrac{b}{d},\tfrac{a}{c}\Bigr)

.
]

Resposta

O sistema linearizado em torno de dot u1 dot u2 = 0 & -dfracc,bd[8pt] dfracd,ac & 0 u1 u2 , fica
[


,
]
onde são as pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio.

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