Qual a equação da reta normal à curva dada parametricamente pelas equações
e
, no ponto
?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta normal à curva paramétrica dada por
x(t)=t^3−9t e y(t)=\sqrt[3]{t^2−2t−11} no ponto (0,−2). Vamos usar derivadas paramétricas para achar o coeficiente angular da tangente e daí o da normal.
x(t)=t^3−9t e y(t)=\sqrt[3]{t^2−2t−11} no ponto (0,−2). Vamos usar derivadas paramétricas para achar o coeficiente angular da tangente e daí o da normal.
Passo 2
Primeiro, achamos o valor de t que leva ao ponto (0,−2). Resolvendo x(t)=0 e y(t)=−2, temos x(t)=t(t^2−9)=0 ⇒ t∈{−3,0,3}. Em seguida y(t)=\sqrt[3]{t^2−2t−11}=−2 ⇒ t^2−2t−11=−8 ⇒ t^2−2t−3=0 ⇒ t∈{3,−1}. O único t em comum é t=3.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas paramétricas: x’(t)=3t^2−9 e y’(t)=\frac{1}{3}(2t−2)(t2−2t−11){−2/3}. Em t=3: x’(3)=3·9−9=18 e y’(3)=\frac{1}{3}(6−2)(−8)^{−2/3}=\frac{1}{3}·4·\frac{1}{4}=\tfrac{1}{3}. Assim a inclinação da tangente é m_t=\frac{y’(3)}{x’(3)}=\frac{1/3}{18}=\frac{1}{54}.
Passo 4
O coeficiente angular da normal é m_n=−1/m_t=−54. Logo a reta normal em (0,−2) satisfaz y−(−2)=−54(x−0), ou seja y=−54x−2.
Resposta
y = -54 x - 2