Qual a equação da reta normal à curva dada parametricamente pelas equações x(t)=t^3-9 t e y(t)=raiz[3]t^2-2 t-11, no ponto (0,-2) ?
(a) y=-154 x-2
(b) y=-54 x-2
© y=124 x+2
(d) y=54 x-2
(e) y=-24 x+2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à curva paramétrica dada por
x(t)=t^3−9t e y(t)=\sqrt[3]{t^2−2t−11} no ponto (0,−2). Vamos usar derivadas paramétricas para achar o coeficiente angular da tangente e daí o da normal.

Passo 2

Primeiro, achamos o valor de t que leva ao ponto (0,−2). Resolvendo x(t)=0 e y(t)=−2, temos x(t)=t(t^2−9)=0 ⇒ t∈{−3,0,3}. Em seguida y(t)=\sqrt[3]{t^2−2t−11}=−2 ⇒ t^2−2t−11=−8 ⇒ t^2−2t−3=0 ⇒ t∈{3,−1}. O único t em comum é t=3.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas paramétricas: x’(t)=3t^2−9 e y’(t)=\frac{1}{3}(2t−2)(t2−2t−11){−2/3}. Em t=3: x’(3)=3·9−9=18 e y’(3)=\frac{1}{3}(6−2)(−8)^{−2/3}=\frac{1}{3}·4·\frac{1}{4}=\tfrac{1}{3}. Assim a inclinação da tangente é m_t=\frac{y’(3)}{x’(3)}=\frac{1/3}{18}=\frac{1}{54}.

Passo 4

O coeficiente angular da normal é m_n=−1/m_t=−54. Logo a reta normal em (0,−2) satisfaz y−(−2)=−54(x−0), ou seja y=−54x−2.

Resposta

y = -54 x - 2

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