Qual a área da região limitada pelo limaçon r=5-2 cos (theta) ?
(a) 11 pi
(b) 27 pi
© 27 pi+4
(d) 11 pi+2
(e) 23 pi

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo limaçon r=5–2 cos(θ). O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar usar a fórmula da área em polares.

Passo 2

A fórmula geral de área para uma curva r(θ) de 0 a 2π é:
A = 12 integral0^2pi r(theta)^2 , dtheta

Passo 3

Substituímos r(θ)=5–2 cos(θ) na integral e expandimos o quadrado:
r(theta)^2 = (5 - 2cos(theta))^2 = 25 - 20cos(theta) + 4cos^2(theta)

Passo 4

Para integrar 4 cos²(θ), usamos a identidade trigonométrica
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2

Passo 5

Agora calculamos cada termo separadamente:
– ∫₀²π25 dθ = 25·2π = 50π
– ∫₀²π (−20 cos θ) dθ = 0 (pois a integral de cosθ em um período completo é zero)
– ∫₀²π 4 cos²(θ) dθ = 4·(1/2)·∫₀²π(1+cos 2θ) dθ = 2·(2π+0) = 4π

Passo 6

Somando tudo dentro da integral dá 50π+0+4π = 54π. Como a fórmula tem ½ na frente:
A = 12 cdot 54pi = 27pi

Resposta

27pi

Exercícios relacionados