Qual a área da região limitada pelo limaçon
?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelo limaçon r=5–2 cos(θ). O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar usar a fórmula da área em polares.
Passo 2
A fórmula geral de área para uma curva r(θ) de 0 a 2π é:
Passo 3
Substituímos r(θ)=5–2 cos(θ) na integral e expandimos o quadrado:
Passo 4
Para integrar 4 cos²(θ), usamos a identidade trigonométrica
Passo 5
Agora calculamos cada termo separadamente:
– ∫₀²π25 dθ = 25·2π = 50π
– ∫₀²π (−20 cos θ) dθ = 0 (pois a integral de cosθ em um período completo é zero)
– ∫₀²π 4 cos²(θ) dθ = 4·(1/2)·∫₀²π(1+cos 2θ) dθ = 2·(2π+0) = 4π
– ∫₀²π25 dθ = 25·2π = 50π
– ∫₀²π (−20 cos θ) dθ = 0 (pois a integral de cosθ em um período completo é zero)
– ∫₀²π 4 cos²(θ) dθ = 4·(1/2)·∫₀²π(1+cos 2θ) dθ = 2·(2π+0) = 4π
Passo 6
Somando tudo dentro da integral dá 50π+0+4π = 54π. Como a fórmula tem ½ na frente: