Equação da reta tangente à curva
f(x)=\operatorname{sen}(x) no ponto x=\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva f(x)=\operatorname{sen}(x) no ponto em que x_0 = \tfrac{\pi}{2}. Para isso, vamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da tangente e depois aplicar a fórmula da reta tangente:
y - f(x_0) = f'(x_0)\,\bigl(x - x_0\bigr).

Passo 2

Primeiro, calculamos a ordenada do ponto de tangência:
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Então o ponto é \bigl(\tfrac{\pi}{2},1\bigr).

Passo 3

Em seguida, achamos a derivada de f. Como f(x)=\operatorname{sen}(x), temos
f'(x)=\cos(x).
Logo
f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da reta tangente:
y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0).
Substituindo x_0=\tfrac{\pi}{2}, f(x_0)=1 e f'(x_0)=0, vem
y - 1 = 0\cdot\Bigl(x - \tfrac{\pi}{2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y=1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 1.

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