Equação da reta tangente à curva
f(x)=3 x^{3}-x+1 no ponto x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva f(x)=3x^3 - x +1 no ponto em que x=1. Para isso a gente vai precisar de duas coisas: o coeficiente angular da reta, que é dado por f'(1), e as coordenadas do ponto de tangência, que são \bigl(1,f(1)\bigr). Depois usamos a fórmula ponto-declive para montar a equação da reta.

Passo 2

Vamos achar a derivada de f usando a regra do poder. Para f(x)=3x^3 - x +1, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}(3x^3)-\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1) =9x^2 - 1 + 0 =9x^2 -1.
Logo o coeficiente angular da reta tangente em x=1 é
m = f'(1) = 9\cdot1^2 -1 = 9 -1 = 8.

Passo 3

Agora calculamos a ordenada do ponto de tangência:
f(1) = 3\cdot1^3 -1 +1 = 3 -1 +1 = 3.
Então o ponto é \bigl(1,3\bigr).

Passo 4

Usamos a fórmula ponto-declive da reta:
y - y_0 = m\,(x - x_0),
substituindo m=8 e (x_0,y_0)=(1,3):
y - 3 = 8\,(x - 1).
Para deixar em forma explícita, basta distribuir e isolar y:
y - 3 = 8x - 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 8x - 8 + 3 \quad\Longrightarrow\quad y = 8x - 5.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 8x - 5.

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