Equação da reta tangente à curva
\mathrm{f}(\mathrm{x})=1 / \mathrm{x} no ponto $\mathrm{x}=1$

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva f(x)=\tfrac{1}{x} no ponto de abscissa x=1. Para isso, vamos precisar de:
  1. O ponto de tangência \bigl(1,f(1)\bigr).
  2. A derivada f'(x), que nos dá a inclinação da tangente, avaliada em x=1.
  3. A fórmula da reta em forma ponto-inclinação.

Passo 2

Calcular a ordenada do ponto de tangência:
f(1)=\frac{1}{1}=1.
Portanto, o ponto de tangência é \bigl(1,1\bigr).

Passo 3

Determinar a derivada de f(x)=\tfrac{1}{x}. Usando a regra de potência,
f(x)=x^{-1} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.
Avaliaremos em x=1:
f'(1)=-\frac{1}{1^2}=-1.

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - y_0 = m\,(x - x_0),
onde (x_0,y_0)=(1,1) e m=f'(1)=-1. Assim,
y - 1 = -1\,(x - 1).
Expande-se e isola-se y:
y - 1 = -x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 2.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -x + 2.

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