Com relação às equações diferenciais homogêngeas:
Quais as substituições de variáveis recomendadas?
Quais as substituições de variáveis recomendadas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre equações diferenciais homogêneas e quais são as substituições de variáveis recomendadas para resolvê-las. A gente vai precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como aplicar essas substituições para simplificar e resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial homogênea. Em termos simples, uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de homogênea se ela pode ser escrita na forma:
Isso significa que a derivada de
em relação a
depende apenas da razão
.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, a substituição mais comum é definir uma nova variável
, onde:
Essa substituição simplifica a equação porque agora expressamos
em termos de
e
.
Passo 4
Com
, podemos reescrever
como:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
na equação original, temos:
Isso nos leva a uma equação mais simples que podemos resolver para encontrar
em termos de
.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial separável, que podemos integrar para encontrar a solução geral.
Passo 7
A outra substituição que às vezes é útil é
, dependendo da forma da equação original. Essa substituição é menos comum, mas pode simplificar a resolução em casos específicos.
Resposta
As substituições de variáveis recomendadas para resolver equações diferenciais homogêneas são:
-
: É a substituição mais comum e útil para simplificar a equação. -
: Pode ser usada em casos específicos onde essa relação simplifica a solução.
Essas substituições transformam a equação original em uma forma mais simples, permitindo resolver a equação diferencial de maneira mais direta.