Com relação às equações diferenciais homogêngeas:
Quais as substituições de variáveis recomendadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre equações diferenciais homogêneas e quais são as substituições de variáveis recomendadas para resolvê-las. A gente vai precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como aplicar essas substituições para simplificar e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial homogênea. Em termos simples, uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de homogênea se ela pode ser escrita na forma:
dydx = F(yx)
Isso significa que a derivada de em relação a depende apenas da razão .

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, a substituição mais comum é definir uma nova variável v = yx , onde:
Essa substituição simplifica a equação porque agora expressamos em termos de e .

Passo 4

Com y = v cdot x , podemos reescrever dydx = v + x cdot dvdx como:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Substituindo v + x cdot dvdx = F(v) na equação original, temos:
Isso nos leva a uma equação mais simples que podemos resolver para encontrar em termos de .

Passo 6

Agora, isolamos x cdot dvdx = F(v) - v :
dvdx = F(v) - vx
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial separável, que podemos integrar para encontrar a solução geral.

Passo 7

A outra substituição que às vezes é útil é , dependendo da forma da equação original. Essa substituição é menos comum, mas pode simplificar a resolução em casos específicos.

Resposta

As substituições de variáveis recomendadas para resolver equações diferenciais homogêneas são:
  1. : É a substituição mais comum e útil para simplificar a equação.
  2. : Pode ser usada em casos específicos onde essa relação simplifica a solução.
Essas substituições transformam a equação original em uma forma mais simples, permitindo resolver a equação diferencial de maneira mais direta.

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