A função posição de um objeto é dada por
. A função aceleração deste objeto é
(A)
.
(B)
.
©
.
(D)
.
(E) outro valor.
(A)
(B)
©
(D)
(E) outro valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de posição do tempo, $ s(t) = \sin(t) e^{2t} $. Nosso objetivo é encontrar a função de aceleração, que é basicamente a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente a regra do produto, porque a função $ s(t) $ é o produto de duas funções: $ \sin(t) $ e $ e^{2t} $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição $ s(t) $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, $ u(t) $ e $ v(t) $, a derivada é:
Aqui, $ u(t) = \sin(t) $ e $ v(t) = e^{2t} $. Vamos derivar cada uma:
- A derivada de $ u(t) = \sin(t) $ é $ u’(t) = \cos(t) $.
- A derivada de $ v(t) = e^{2t} $ é $ v’(t) = 2e^{2t} $ (porque a derivada de $ e^{kt} $ é $ ke^{kt} $).
Agora aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora que temos a velocidade $ s’(t) $, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade. Vamos novamente usar a regra do produto para derivar $ s’(t) = (\cos(t) + 2\sin(t)) e^{2t} $.
Seja $ u(t) = \cos(t) + 2\sin(t) $ e $ v(t) = e^{2t} $. Derivando cada um:
- A derivada de $ u(t) = \cos(t) + 2\sin(t) $ é $ u’(t) = -\sin(t) + 2\cos(t) $.
- A derivada de $ v(t) = e^{2t} $ é $ v’(t) = 2e^{2t} $.
Aplicando a regra do produto:
Agora, vamos simplificar:
Resposta
A função aceleração é $ a(t) = (3,\sin t + 4,\cos t) e^{2t} $, que corresponde à alternativa (D).