A função posição de um objeto é dada por s(t)=sen(t) e^2 t. A função aceleração deste objeto é
(A) a(t)=(2 sen t+cos t) e^2 t.
(B) a(t)=2 sen(t) e^2 t.
© a(t)=-4 sen(t) e^2 t.
(D) a(t)=(3 sen t+4 cos t) e^2 t.
(E) outro valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de posição do tempo, $ s(t) = \sin(t) e^{2t} $. Nosso objetivo é encontrar a função de aceleração, que é basicamente a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente a regra do produto, porque a função $ s(t) $ é o produto de duas funções: $ \sin(t) $ e $ e^{2t} $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição $ s(t) $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, $ u(t) $ e $ v(t) $, a derivada é:
s(t)
Aqui, $ u(t) = \sin(t) $ e $ v(t) = e^{2t} $. Vamos derivar cada uma:
  • A derivada de $ u(t) = \sin(t) $ é $ u’(t) = \cos(t) $.
  • A derivada de $ v(t) = e^{2t} $ é $ v’(t) = 2e^{2t} $ (porque a derivada de $ e^{kt} $ é $ ke^{kt} $).
Agora aplicando a regra do produto:
u(t)

Passo 3

Agora que temos a velocidade $ s’(t) $, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade. Vamos novamente usar a regra do produto para derivar $ s’(t) = (\cos(t) + 2\sin(t)) e^{2t} $.
Seja $ u(t) = \cos(t) + 2\sin(t) $ e $ v(t) = e^{2t} $. Derivando cada um:
  • A derivada de $ u(t) = \cos(t) + 2\sin(t) $ é $ u’(t) = -\sin(t) + 2\cos(t) $.
  • A derivada de $ v(t) = e^{2t} $ é $ v’(t) = 2e^{2t} $.
Aplicando a regra do produto:
s'(t)
Agora, vamos simplificar:
s'(t) = (cos(t) + 2sin(t)) e^2t
u(t) = cos(t) + 2sin(t)
v(t) = e^2t

Resposta

A função aceleração é $ a(t) = (3,\sin t + 4,\cos t) e^{2t} $, que corresponde à alternativa (D).

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