Exercicio 13.6. Utilize variação dos parametros para resolver
y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime=y=e^-x sin x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de terceira ordem
y''' - y'' + y' = e^-xsin x
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da parte homogênea, depois aplicar a fórmula de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea
y''' - y'' + y' = 0,
assumimos solução do tipo y=e^rx. O polinômio característico é
r^3 - r^2 + r = r,(r^2 - r +1)=0
As raízes são
r1=0 e r2,3=1pm iraiz32.
Logo as soluções fundamentais são
y1=1, y2=e^x/2cosl(tfracraiz32xr), y3=e^x/2sinl(tfracraiz32xr)

Passo 3

Na variação de parâmetros buscamos
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2 + u3(x)y3
sujeito ao sistema
u1'y1 + u2'y2 + u3'y3 = 0, u1'y1' + u2'y2' + u3'y3' = 0, u1'y1'' + u2'y2'' + u3'y3'' = e^-xsin x

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
a partir de y2,y3:
W = dety2 & y3 y2' & y3' = raiz32e^x
Então as derivadas ui' ficam (pela fórmula de Cramer para EDO de 3ª ordem):
$$
u_1’ = \frac{\det u1' = det0 & y2 & y30 & y2' & y3'e^-xsin x & y2'' & y3''W, u2' = -dety1 & 0 & y3y1' & 0 & y3'y1'' & e^-xsin x & y3''W, u3' = dety1 & y2 & 0y1' & y2' & 0y1'' & y2'' & e^-xsin xW }{W},
\quad
u_2’ = -\frac{\det }{W},
\quad
u_3’ = \frac{\det }{W}.
$$

Passo 5

Fazendo as contas do numerador para u1' obtém-se
u1' = (e^-xsin x),(y2y3' - y3y2')W = e^-xsin xcdot(tfracraiz32e^x)(tfracraiz32e^x) = e^-xsin x
Logo
u1(x)=integral e^-xsin x,dx = -tfrac12 e^-xl(sin x + cos xr)

Passo 6

Os termos u2',u3' dão origem a integrais do tipo
integral e^-3x/2sin^2x,dx,
integral e^-3x/2cos^2x,dx e
integral e^-3x/2sin xcos x,dx,
que podem ser feitas por identidades trigonométricas e partes. Ficamos portanto com
u2(x)=integral F2(x),dx, nu3(x)=integral F3(x),dx,
onde F2,F3 são funções explícitas obtidas dos determinantes acima.

Passo 7

A solução geral fica então
y(x)=C1cdot1 + e^x/2l(C2costfracraiz32x + C3sintfracraiz32xr) + u1(x)cdot1 + u2(x)e^x/2costfracraiz32x + u3(x)e^x/2sintfracraiz32x

Passo 8

Em particular, usando u1(x) achado, temos o termo particular iniciado por
-tfrac12 e^-x(sin x + cos x)
e os outros dois termos por integrais de F2,F3.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1 + e^x/2l(C2 cos(tfracraiz32x)+C3sin(tfracraiz32x)r) -tfrac12e^-x(sin x+cos x) +e^x/2costfracraiz32xintegral F2(x),dx +e^x/2sintfracraiz32xintegral F3(x),dx,
onde F2,F3 são as expressões obtidas nos determinantes para u'2,u'3. As constantes C1,C2,C3 são arbitrárias.

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