Exercicio 13.6. Utilize variação dos parametros para resolver
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de terceira ordem
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da parte homogênea, depois aplicar a fórmula de variação de parâmetros para obter uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea
assumimos solução do tipo . O polinômio característico é
As raízes são e .
Logo as soluções fundamentais são
Passo 3
Na variação de parâmetros buscamos
sujeito ao sistema
Passo 4
Calculamos o Wronskiano
a partir de y2,y3:
W = dety2 & y3 y2' & y3' = raiz32e^x
Então as derivadas ui' ficam (pela fórmula de Cramer para EDO de 3ª ordem):
u1(x)=integral e^-xsin x,dx = -tfrac12 e^-xl(sin x + cos xr)
Passo 6
Os termos u2',u3' dão origem a integrais do tipo integral e^-3x/2sin^2x,dx, integral e^-3x/2cos^2x,dx e integral e^-3x/2sin xcos x,dx,
que podem ser feitas por identidades trigonométricas e partes. Ficamos portanto com