Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^{2}-4 x no ponto de abscissa \mathrm{x}=5 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^2-4x e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto de abscissa x=5. O tema é derivada de função polinomial e reta tangente. Vamos precisar de: (i) calcular a derivada f'(x) para obter a inclinação da tangente; (ii) avaliar f e f' em x=5 para achar o ponto e a inclinação; (iii) usar a fórmula da reta tangente em forma ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando as regras de derivação de polinômios:
f(x)=x^2-4x
Logo,
f'(x)=2x-4,
que é a inclinação da reta tangente em cada x.

Passo 3

Avaliamos f e f' em x=5:
f(5)=5^2-4\cdot5=25-20=5,
f'(5)=2\cdot5-4=10-4=6.
O ponto de tangência é (5,5) e a inclinação da reta tangente é m=6.

Passo 4

Usamos a fórmula da reta em forma ponto-inclinação:
y - f(5) = f'(5)\,(x-5),
ou seja,
y - 5 = 6(x - 5).
Simplificando,
y = 6x -30 +5 = 6x -25.

Resposta

A equação da reta tangente é y = 6x - 25.

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