Enuncie os teoremas seguintes e dê uma interpretação geométrica de cada um deles.
Teorema de Weierstrass.
Teorema de Weierstrass.
Passo 1
O enunciado nos pede para apresentar o Teorema de Weierstrass — que garante existência de extremos de funções contínuas em conjuntos “bem comportados” — e depois dar uma interpretação geométrica. Para isso precisamos lembrar o que é um conjunto compacto em
(fechado e limitado) e o fato de que a imagem de um compacto por uma função contínua também é compacto.
Passo 2
Definimos primeiro os conceitos que usamos no teorema:
– Um conjunto
é compacto se for fechado (contém todos os seus pontos-limite) e limitado (cabe dentro de alguma bola de raio finito).
– Uma função é contínua se pré-imagem de conjunto aberto for aberto, ou equivalentemente, se pequenas variações em
provocam pequenas variações em
.
– Uma função
Passo 3
Aplicando o fato clássico de topologia real — que a imagem de um conjunto compacto por função contínua é também um conjunto compacto em
— concluímos que
é fechado e limitado. Em
, todo conjunto fechado e limitado tem máximo e mínimo. Daí decorre o teorema.
Resposta
Teorema de Weierstrass
Seja compacto e seja
contínua. Então existem pontos
tais que
Seja
Interpretação geométrica
Imagine o gráfico de sobre a região
no espaço. Por ser contínuo e
não deixar “escapar” pontos nem ser infinito, o “teto” e o “piso” do gráfico de
existem: há um ponto mais alto e um ponto mais baixo do grafico sobre toda a região.
Imagine o gráfico de