Enuncie os teoremas seguintes e dê uma interpretação geométrica de cada um deles.
Teorema de Weierstrass.

Passo 1

O enunciado nos pede para apresentar o Teorema de Weierstrass — que garante existência de extremos de funções contínuas em conjuntos “bem comportados” — e depois dar uma interpretação geométrica. Para isso precisamos lembrar o que é um conjunto compacto em \mathbb{R}^n (fechado e limitado) e o fato de que a imagem de um compacto por uma função contínua também é compacto.

Passo 2

Definimos primeiro os conceitos que usamos no teorema:
– Um conjunto K \subset \mathbb{R}^n é compacto se for fechado (contém todos os seus pontos-limite) e limitado (cabe dentro de alguma bola de raio finito).
– Uma função f\colon K \to \mathbb{R} é contínua se pré-imagem de conjunto aberto for aberto, ou equivalentemente, se pequenas variações em x provocam pequenas variações em f(x).

Passo 3

Aplicando o fato clássico de topologia real — que a imagem de um conjunto compacto por função contínua é também um conjunto compacto em \mathbb{R} — concluímos que f(K)\subset\mathbb{R} é fechado e limitado. Em \mathbb{R}, todo conjunto fechado e limitado tem máximo e mínimo. Daí decorre o teorema.

Resposta

Teorema de Weierstrass
Seja K\subset\mathbb{R}^n compacto e seja f\colon K\to\mathbb{R} contínua. Então existem pontos x_{\min},x_{\max}\in K tais que
f(x_{\min})=\min_{x\in K}f(x) \quad\text{e}\quad f(x_{\max})=\max_{x\in K}f(x).
Interpretação geométrica
Imagine o gráfico de f sobre a região K no espaço. Por ser contínuo e K não deixar “escapar” pontos nem ser infinito, o “teto” e o “piso” do gráfico de f existem: há um ponto mais alto e um ponto mais baixo do grafico sobre toda a região.

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