Verifique se a função f dada abaixo é contínua em x=1.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2 x^{2}+x-3}{x-1} & \text { se } & x \neq 1 \\\\ 2 & \text { se } & x=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{2x^{2}+x-3}{x-1},&x\neq1,\\[6pt] 2,&x=1, \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua em x=1. Como continuo em um ponto significa que
\lim_{x\to1}f(x)
existe e vale f(1), vamos calcular esse limite e compará-lo a f(1)=2.]

Passo 2

Para achar
\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+x-3}{x-1},
fatoramos o numerador:
2x^{2}+x-3=(x-1)(2x+3).
Logo, para x\neq1,
\frac{2x^{2}+x-3}{x-1} =\frac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3.
Portanto
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}(2x+3) =2\cdot1+3=5.

Passo 3

Nós obtivemos
\lim_{x\to1}f(x)=5 \quad\text{e}\quad f(1)=2.
Como 5\neq2, a condição de continuidade \lim_{x\to1}f(x)=f(1) falha.

Resposta

A função não é contínua em x=1.

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