Use o Teste da Integral para verificar se as séries abaixo convergem ou não. Justifique.
Passo 1
Temos a série
. O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes, e vamos precisar verificar as hipóteses do teste e calcular a integral imprópria associada a
.
Passo 2
Definimos
para
. Note que
nesse intervalo. Para ver que
é decrescente, calculamos a derivada:
, que é negativa para
porque
. Assim, as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 3
Agora calculamos a integral imprópria correspondente:
Passo 4
Como a integral
converge e é finita, o Teste da Integral garante que a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.