Use o Teste da Integral para verificar se as séries abaixo convergem ou não. Justifique.
sumn=1^+infty n e^-n^2

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty n e^-n^2. O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes, e vamos precisar verificar as hipóteses do teste e calcular a integral imprópria associada a f(x)=x e^-x^2.

Passo 2

Definimos f(x)=x e^-x^2 para x>=1. Note que f(x)>0 nesse intervalo. Para ver que f é decrescente, calculamos a derivada: f'(x)=e^-x^2(1-2x^2), que é negativa para x>=1 porque 2x^2>=2>1. Assim, as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 3

Agora calculamos a integral imprópria correspondente:
integral1^infty x e^-x^2,dx = integralu=1^2^infty 12e^-u,du = 12l[-e^-ur]1^infty = 12e^-1,

Passo 4

Como a integral integral1^infty x e^-x^2,dx converge e é finita, o Teste da Integral garante que a série sumn=1^infty n e^-n^2 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n e^-n^2 converge pelo Teste da Integral.

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