Para a equação de Schrödinger tridimensional (9.75), demonstre o tearema de Ehrenfest
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, a partir da equação de Schr"odinger tridimensional, que a taxa de varia\c{c}~ao temporal do valor esperado do operador momento
satisfaz
satisfaz
Vamos usar o resultado geral da mec^anica qu^antica que liga a derivada temporal de um valor esperado ao comutador do operador com o Hamiltoniano.
Passo 2
Em mecânica quântica temos, para qualquer operador
sem dependência explícita de
,
No nosso caso
não depende de
explicitamente, logo
Passo 3
O Hamiltoniano na forma usual é
Calculamos o comutador
Como
comuta com qualquer função de
, o primeiro termo é zero. Para o segundo termo usamos
isto é,
Passo 4
Substituindo no resultado do Passo
obtemos
Isso é exatamente o teorema de Ehrenfest para o momento.