Para a equação de Schrödinger tridimensional (9.75), demonstre o tearema de Ehrenfest
dd tlang<=prang<=Psi=lang<=grad Vrang<=Psi

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, a partir da equação de Schr"odinger tridimensional, que a taxa de varia\c{c}~ao temporal do valor esperado do operador momento
p=-ihbar,nabla
satisfaz
ddtlang<=prang<=Psi=lang<=gradVrang<=Psi
Vamos usar o resultado geral da mec^anica qu^antica que liga a derivada temporal de um valor esperado ao comutador do operador com o Hamiltoniano.

Passo 2

Em mecânica quântica temos, para qualquer operador hat A sem dependência explícita de t,
ddtlang<=hat Arang<= =1ihbarlang<=[hat A,hat H]rang<= +lang<=partialhat Apartial trang<=
No nosso caso hat A=p não depende de t explicitamente, logo
ddtlang<=prang<= =1ihbarlang<=[p,hat H]rang<=

Passo 3

O Hamiltoniano na forma usual é
hat H=p^22m+V( r)
Calculamos o comutador
[p,hat H] =l[p,p^22mr] +[p,V( r)]
Como p comuta com qualquer função de p, o primeiro termo é zero. Para o segundo termo usamos
[hat pi,V( r)] =-ihbar,partialiV( r),
isto é,
[p,V( r)] =-ihbar,nabla V( r)

Passo 4

Substituindo no resultado do Passo 2 obtemos
ddtlang<=prang<= =1ihbarlang<= -,ihbar,nabla V( r)rang<= =lang<=nabla V( r)rang<=
Isso é exatamente o teorema de Ehrenfest para o momento.

Resposta

dd tlang<=prang<=Psi =lang<=gradVrang<=Psi

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