OS PRÓXIMOS PROBLEMAS DEVEM SER RESOLVIDOS USANDO A LEI DE GAUSS
Uma casca esférica de raio externo b e raio interno a é feita de material condutor e está neutra. Dentro da casca existe uma pequena esfera de raio R<a de carga Q. (a) Calcule a densidade de carga em R, em a e em b.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera condutora isolada de raio R com carga Q colocada concentricamente dentro de uma casca esférica condutora de raio interno a e raio externo b. A casca está inicialmente neutra. Usaremos a Lei de Gauss para encontrar as densidades de carga superficiais nas superfícies r=R, r=a e r=b.

Passo 2

Num condutor em equilíbrio eletrostático toda carga livre reside na superfície externa. Para a pequena esfera de raio R, que é isolada e tem carga total Q, a densidade superficial é uniforme. Logo,
sigmaR = Q4pi R^2

Passo 3

Dentro do material da casca condutora (para a<r<b) o campo elétrico é nulo. Faça uma superfície gaussiana esférica de raio r tal que a<r<b. Pela Lei de Gauss:
oint Ecdot dA = 0 Longrightarrow Q + qavarepsilon0 = 0
onde qa é a carga na face interna ( r=a). Assim qa=-Q e
sigmaa = qa4pi a^2 = -,Q4pi a^2

Passo 4

A casca condutora é neutra, então a soma das cargas nas suas superfícies interna e externa deve ser zero:
qa + qb = 0 Longrightarrow qb = -,qa = Q
Na superfície externa ( r=b) a densidade é
sigmab = qb4pi b^2 = Q4pi b^2

Resposta

sigmaR = Q4pi R^2, sigmaa = -,Q4pi a^2, sigmab = Q4pi b^2

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