A equação a seguir define y como uma função de x nas vizinhanças do ponto A=(-1,1).
x^3 y-4 x+y-y^2=3
Derive implicitamente e escreva y^prime como uma função de x e de y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona y e x perto do ponto A=(-1,1). A equação é:
x^3 y - 4x + y - y^2 = 3
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, y', usando derivação implícita. Para isso, vamos precisar entender como derivar expressões onde y é uma função de x mas não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde y e x estão misturados, e não está fácil resolver y em função de x, usamos a derivação implícita. Isso significa que a gente diferencia toda a equação em relação a x, lembrando que y é uma função de x (então, quando der formaremos y, multiplicamos pela derivada y').

Passo 3

Vamos começar diferenciando cada termo da equação original em relação a x:
x^3 y - 4x + y - y^2 = 3
Derivando termo a termo:
  1. x^3 y: Aqui usamos a regra do produto, já que é o produto de x^3 e y.
    ddx(x^3 y) = 3x^2 y + x^3 y'
  2. -4x: A derivada de -4x em relação a x é simplesmente -4.
    ddx(-4x) = -4
  3. y: A derivada de y em relação a x é y'.
    ddx(y) = y'
  4. -y^2: Aqui usamos a regra da cadeia. Derivando -y^2:
    ddx(-y^2) = -2y y'
  5. 3: A derivada de uma constante é 0.
    ddx(3) = 0

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas que calculamos:
3x^2 y + x^3 y' - 4 + y' - 2y y' = 0
Nosso objetivo é isolar y'. Para isso, vamos agrupar os termos que contêm y' e os que não têm.

Passo 5

Agrupando os termos com y':
x^3 y' + y' - 2y y' = -3x^2 y + 4
Fatorando y':
y'(x^3 + 1 - 2y) = -3x^2 y + 4

Passo 6

Agora, para isolar y', dividimos ambos os lados da equação pelo fator que está junto de y':
y' = -3x^2 y + 4x^3 + 1 - 2y

Resposta

A derivada implícita y' em função de x e y é:
y' = 4 - 3x^2 yx^3 + 1 - 2y

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