A equação a seguir define
como uma função de
nas vizinhanças do ponto
.
Derive implicitamente e escreva
como uma função de
e de
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona
e
perto do ponto
. A equação é:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando derivação implícita. Para isso, vamos precisar entender como derivar expressões onde
é uma função de
mas não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde
e
estão misturados, e não está fácil resolver
em função de
, usamos a derivação implícita. Isso significa que a gente diferencia toda a equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
(então, quando der formaremos
, multiplicamos pela derivada
).
Passo 3
Vamos começar diferenciando cada termo da equação original em relação a
:
Derivando termo a termo:
-
: Aqui usamos a regra do produto, já que é o produto de e . -
: A derivada de em relação a é simplesmente . -
: A derivada de em relação a é . -
: Aqui usamos a regra da cadeia. Derivando : -
: A derivada de uma constante é .
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos agrupar os termos que contêm
e os que não têm.
Passo 5
Agrupando os termos com
:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados da equação pelo fator que está junto de
:
Resposta
A derivada implícita
em função de
e
é: