Nome:
Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função
dada por
©
é de classe
na origem?
Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida de forma diferente quando
é
ou não. O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, especificamente sobre continuidade e diferenciabilidade de funções em várias dimensões. Vamos precisar entender o que significa uma função ser de classe $ C^{1} $ na origem, ou seja, se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função faz. Para qualquer ponto
diferente de
, temos:
E quando
, $ f(0,0) = 0 $.
Passo 3
Para verificar se $ f $ é de classe $ C^{1} $ na origem, precisamos checar duas coisas:
- Se $ f $ é diferenciável em
. - Se as derivadas parciais de $ f $ existem e são contínuas em
.
Passo 4
Vamos começar verificando a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser apropriadamente linearizada nesse ponto. Isso envolve calcular os limites das derivadas parciais e garantir que a aproximação linear seja válida.
Passo 5
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $ f $ em
. As derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ são dadas por:
Vamos calcular $ f_x(0,0) $ e $ f_y(0,0) $.
Passo 6
Calculando $ f_x(0,0) $:
Sabemos que $ |\sin(\cdot)| \leq 1 $, então:
Como $ h \to 0 $, $ |h| \to 0 $, então $ f_x(0,0) = 0 $.
Passo 7
De maneira semelhante, calculamos $ f_y(0,0) $:
Usando o mesmo raciocínio:
Assim, $ f_y(0,0) = 0 $.
Passo 8
Agora que temos as derivadas parciais em
iguais a zero, precisamos verificar se $ f $ é diferenciável nesse ponto. Para isso, analisamos o limite:
Substituindo os valores:
Onde $ r = \sqrt{h{2}+k{2}} $.
Passo 9
Como $ |\sin(\frac{1}{r})| \leq 1 $, então:
E como $ r \to 0 $, o limite é zero. Portanto, $ f $ é diferenciável em
e as derivadas parciais existem.
Passo 10
Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas em
. Calculamos as derivadas parciais em pontos diferentes de
e observamos o comportamento quando
.
Passo 11
As derivadas parciais de $ f $ para
são:
Onde $ r = \sqrt{x{2}+y{2}} $.
Passo 12
Observamos que, à medida que $ r \to 0 $, os termos $ \cos(\frac{1}{r}) \frac{x}{r} $ e $ \cos(\frac{1}{r}) \frac{y}{r} $ oscilam entre
e
, e similarmente para $ y $. Isso faz com que as derivadas parciais não tenham limites definidos em
, pois dependem da direção pela qual nos aproximamos.
Passo 13
Como as derivadas parciais não possuem limites definidos em
, elas não são contínuas nesse ponto. Portanto, $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.
Resposta
Não, a função $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.