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Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)= (x^2+y^2) sen 1raizx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
© f é de classe C^1 na origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida de forma diferente quando f: R^2 R é (x, y) ou não. O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, especificamente sobre continuidade e diferenciabilidade de funções em várias dimensões. Vamos precisar entender o que significa uma função ser de classe $ C^{1} $ na origem, ou seja, se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz. Para qualquer ponto (x, y) diferente de (0,0), temos:
f(x, y) = (x^2+y^2) sin ( 1raizx^2+y^2 )
E quando (x, y) = (0,0), $ f(0,0) = 0 $.

Passo 3

Para verificar se $ f $ é de classe $ C^{1} $ na origem, precisamos checar duas coisas:
  1. Se $ f $ é diferenciável em f .
  2. Se as derivadas parciais de $ f $ existem e são contínuas em C^1 .

Passo 4

Vamos começar verificando a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser apropriadamente linearizada nesse ponto. Isso envolve calcular os limites das derivadas parciais e garantir que a aproximação linear seja válida.

Passo 5

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $ f $ em f . As derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ são dadas por:
(0,0)
fx
Vamos calcular $ f_x(0,0) $ e $ f_y(0,0) $.

Passo 6

Calculando $ f_x(0,0) $:
fx(0,0)
Sabemos que $ |\sin(\cdot)| \leq 1 $, então:
fx(0,0) = limh to 0 h^2 sin ( 1|h| ) - 0h = limh to 0 h sin ( 1|h| )
Como $ h \to 0 $, $ |h| \to 0 $, então $ f_x(0,0) = 0 $.

Passo 7

De maneira semelhante, calculamos $ f_y(0,0) $:
fy(0,0)
Usando o mesmo raciocínio:
fy(0,0) = limk to 0 k^2 sin ( 1|k| ) - 0k = limk to 0 k sin ( 1|k| )
Assim, $ f_y(0,0) = 0 $.

Passo 8

Agora que temos as derivadas parciais em (0,0) iguais a zero, precisamos verificar se $ f $ é diferenciável nesse ponto. Para isso, analisamos o limite:
f
Substituindo os valores:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2+k^2
Onde $ r = \sqrt{h{2}+k{2}} $.

Passo 9

Como $ |\sin(\frac{1}{r})| \leq 1 $, então:
|sin(1r)| <= 1
E como $ r \to 0 $, o limite é zero. Portanto, $ f $ é diferenciável em |r sin ( 1r )| <= r e as derivadas parciais existem.

Passo 10

Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas em (0,0). Calculamos as derivadas parciais em pontos diferentes de (0,0) e observamos o comportamento quando (x,y) to (0,0).

Passo 11

As derivadas parciais de $ f $ para f são:
(x,y) neq (0,0)
fx(x,y) = 2x sin ( 1r ) - cos ( 1r ) xr
Onde $ r = \sqrt{x{2}+y{2}} $.

Passo 12

Observamos que, à medida que $ r \to 0 $, os termos $ \cos(\frac{1}{r}) \frac{x}{r} $ e $ \cos(\frac{1}{r}) \frac{y}{r} $ oscilam entre r to 0 e cos(1r) xr , e similarmente para $ y $. Isso faz com que as derivadas parciais não tenham limites definidos em cos(1r) yr , pois dependem da direção pela qual nos aproximamos.

Passo 13

Como as derivadas parciais não possuem limites definidos em (0,0), elas não são contínuas nesse ponto. Portanto, $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.

Resposta

Não, a função $ f $ não é de classe $ C^{1} $ na origem.

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