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Questão 4 (1,5 pontos)
Sejam U subset R^n um conjunto aberto e f: U R uma função diferenciável. Mostre que partial fpartial v(p)=lang<=nabla f(p), vrang<= para todo p in U e v in R^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função diferenciável f em um ponto p e um vetor v, a derivada direcional de f em p na direção v coincide com o produto interno entre o gradiente de f em p e v. Esse resultado envolve conceito de derivada direcional, definição de gradiente e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Começamos definindo a derivada direcional de f em p ao longo de v como
partial fpartial v(p)=limtto0f(p+tv)-f(p)t
Para usar a regra da cadeia, considere a função de variável real g definida por g(t)=f(p+tv). Então a derivada direcional é g’(0).

Passo 3

Como f é diferenciável, podemos aplicar a regra da cadeia a g(t)=f(p+tv). Escrevendo v=(v_1,\dots,v_n) e tomando coordenadas x_i, temos
g'(t)=sumi=1^npartial fpartial xi(p+tv)cdotddt(pi+tvi) =sumi=1^npartial fpartial xi(p+tv),vi
Em particular, avaliando em t=0,
g'(0)=sumi=1^npartial fpartial xi(p),vi

Passo 4

O somatório acima é exatamente o produto interno entre o vetor gradiente nabla f(p)=(partial f/partial x1(p),dots,partial f/partial xn(p)) e o vetor v. Portanto concluímos que a derivada direcional satisfaz
partial fpartial v(p)=lang<=nabla f(p),vrang<=

Resposta

partial fpartial v(p)=lang<=nabla f(p),vrang<=

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