Nome:
Questão 4 (1,5 pontos)
Sejam
um conjunto aberto e
uma função diferenciável. Mostre que
para todo
e
.
Questão 4 (1,5 pontos)
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função diferenciável f em um ponto p e um vetor v, a derivada direcional de f em p na direção v coincide com o produto interno entre o gradiente de f em p e v. Esse resultado envolve conceito de derivada direcional, definição de gradiente e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Começamos definindo a derivada direcional de f em p ao longo de v como
Para usar a regra da cadeia, considere a função de variável real g definida por g(t)=f(p+tv). Então a derivada direcional é g’(0).
Passo 3
Como f é diferenciável, podemos aplicar a regra da cadeia a g(t)=f(p+tv). Escrevendo v=(v_1,\dots,v_n) e tomando coordenadas x_i, temos
Em particular, avaliando em t=0,
Passo 4
O somatório acima é exatamente o produto interno entre o vetor gradiente
e o vetor v. Portanto concluímos que a derivada direcional satisfaz