A equação a seguir define y como uma função de x nas vizinhanças do ponto A=(-1,1).
x^3 y-4 x+y-y^2=3
Calcule a derivada de y(x) no ponto A e escreva uma equação da reta tangente à curva neste ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona $ y $ com $ x $ perto do ponto $ A = (-1, 1) $:
y
Nosso objetivo é calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ nesse ponto e depois encontrar a equação da reta tangente à curva nessa posição. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde $ y $ está misturado com $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivação implícita na equação dada. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $, lembrando que $ y $ é uma função de $ x $ (ou seja, $ y = y(x) $).
A equação é:
x
Derivando cada termo:
  • $ x^{3} y $: aqui usamos a regra do produto. Derivando $ x^{3} $ dá $ 3x^{2} $, e mantemos $ y $, mais $ x^{3} $ vezes a derivada de $ y $, que é $ y’ $.
y
  • $ -4x $: a derivada de $ -4x $ é simplesmente $ -4 $.
  • $ y $: a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é $ y’ $.
  • $ -y^{2} $: usamos a regra da cadeia. Derivando $ y^{2} $ dá $ 2y y’ $, então fica $ -2y y’ $.
  • $ 3 $: a derivada de uma constante é zero.
Juntando tudo:
x

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que contêm $ y’ $ e os que não contêm:
y'
Fatorando $ y’ $ do lado esquerdo:
x^3 y' + y' - 2y y' = -3x^2 y + 4
Para isolar $ y’ $, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando $ y’ $:
y'

Passo 4

Agora precisamos calcular $ y’ $ no ponto $ A = (-1, 1) $. Vamos substituir $ x = -1 $ e $ y = 1 $ na expressão que encontramos:
y'

Resposta

A derivada de $ y $ no ponto $ A = (-1, 1) $ é $ y’ = -\frac{1}{2} $. Portanto, a equação da reta tangente à curva nesse ponto é:
y
Ou, rearranjando:
A = (-1, 1)

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