Defina uma semelhança entre dois círculos concêntricos.

Passo 1

Temos dois círculos concêntricos com centro comum O e raios r e R. Queremos construir uma semelhança (isto é, uma transformação que preserva razões de distância) que envie o círculo de raio r no de raio R. Para isso vamos usar o conceito de homotetia.

Passo 2

Uma homotetia de centro O e razão k é a aplicação que manda cada ponto X no ponto X' definido por
\overrightarrow{OX'}=k\,\overrightarrow{OX}.
Essa transformação é uma semelhança de razão \lvert k\rvert (preserva ângulos e multiplica distâncias por \lvert k\rvert).

Passo 3

Se escolhermos
k = \frac{R}{r},
então, para qualquer ponto X do círculo de raio r, temos \lVert OX\rVert = r e
\lVert OX'\rVert = \lvert k\rvert\,\lVert OX\rVert = \frac{R}{r}\;r = R.
Logo X' pertence ao círculo de raio R.

Resposta

A semelhança que leva um círculo concêntrico de raio r ao de raio R é a homotetia de centro no ponto comum O e razão
k = \frac{R}{r}.

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