A equação para um sistema massa-mola em uma superfície sem atrito é:
. A massa é um bloco de
. Qual a velocidade do bloco no instante de tempo inicial?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola sem atrito, cuja posição do bloco em função do tempo é dada por:
A massa do bloco é de
. O que a gente precisa descobrir é a velocidade do bloco no instante inicial (quando $ t = 0 $). Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da função posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $:
Vamos derivar a função $ x(t) $ dada.
Passo 3
A função posição é:
Onde:
- $ A = 1,40 \ \mathrm{m} $ é a amplitude,
- $ \omega = 5,09 \ \mathrm{rad/s} $ é a frequência angular,
- $ \phi = \frac{\pi}{2} $ é a fase inicial.
A derivada de $ \cos(\theta) $ em relação a $ \theta $ é $ -\sin(\theta) $. Portanto, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na expressão da velocidade:
Queremos a velocidade no instante inicial, ou seja, quando $ t = 0 $:
Passo 5
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $. Portanto:
Resposta
A velocidade do bloco no instante inicial é de aproximadamente
.