A equação para um sistema massa-mola em uma superfície sem atrito é: x(t)=(1,40 m) cos [(5,09 rad / s) t+pi / 2]. A massa é um bloco de 3,80 kg. Qual a velocidade do bloco no instante de tempo inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola sem atrito, cuja posição do bloco em função do tempo é dada por:
x(t) = (1,40 m) cos [(5,09 rad/s) , t + pi2]
A massa do bloco é de 3,80 kg. O que a gente precisa descobrir é a velocidade do bloco no instante inicial (quando $ t = 0 $). Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da função posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $:
v(t)
Vamos derivar a função $ x(t) $ dada.

Passo 3

A função posição é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A = 1,40 \ \mathrm{m} $ é a amplitude,
  • $ \omega = 5,09 \ \mathrm{rad/s} $ é a frequência angular,
  • $ \phi = \frac{\pi}{2} $ é a fase inicial.
A derivada de $ \cos(\theta) $ em relação a $ \theta $ é $ -\sin(\theta) $. Portanto, aplicando a regra da cadeia:
A = 1,40 m

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na expressão da velocidade:
v(t) = -1,40 m times 5,09 rad/s times sin(5,09 times t + pi2)
Queremos a velocidade no instante inicial, ou seja, quando $ t = 0 $:
t = 0

Passo 5

Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $. Portanto:
sin(pi2) = 1
v(0) = -1,40 times 5,09 times 1
v(0) = -1,40 times 5,09

Resposta

A velocidade do bloco no instante inicial é de aproximadamente -7,13 m/s.

Exercícios relacionados