Uma equação utilizada para descrever o comportamento de gases reais é dado pela equação de Van der Waals.Verificar a consistência dimensional dela. As constantes de estado a e b têm unidades, quais são?
\left(P+\frac{a}{V^{2}}\right)(V-b)=R T

Passo 1

O enunciado dá a equação de Van der Waals
\bigl(P + \tfrac{a}{V^2}\bigr)\,(V - b) = R\,T
e pede para checar a consistência dimensional, encontrando as unidades de a e b. Vamos usar análise dimensional, conhecendo as unidades de cada grandeza envolvida.

Passo 2

Identificamos as dimensões básicas:
– A pressão P tem unidade de pascal:
[P] = \mathrm{Pa}.
– O volume molar V (volume ocupado por 1 mol) tem unidade
[V] = \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{mol}}.
– A constante universal dos gases R em unidades SI é
[R] = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\,\mathrm{K}} = \frac{\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^3}{\mathrm{mol}\,\mathrm{K}}.
– A temperatura T tem unidade kelvin:
[T] = \mathrm{K}.
Logo o produto R\,T tem dimensão
[R\,T] = \frac{\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^3}{\mathrm{mol}}.

Passo 3

Pela consistência dimensional, o lado esquerdo
\bigl(P + \tfrac{a}{V^2}\bigr)\,(V - b)
deve ter as mesmas unidades de R\,T, ou seja \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Para isso é necessário que
  1. \tfrac{a}{V^2} tenha as mesmas unidades de P, e
  2. b tenha as mesmas unidades de V.

Passo 4

  1. Como \bigl[a/V^2\bigr]=[P], temos
[a] = [P]\,[V]^2 = \mathrm{Pa}\,\bigl(\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{mol}}\bigr)^2 = \mathrm{Pa}\,\frac{\mathrm{m}^6}{\mathrm{mol}^2}.
  1. Como [b]=[V], fica
[b] = \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{mol}}.

Resposta

[a] = \mathrm{Pa}\,\frac{\mathrm{m}^6}{\mathrm{mol}^2}, \qquad [b] = \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{mol}}.

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