Determine, se possível, as constantes a e b \in \mathbb{R} de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto x_{o}. Esboce o gráfico:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 a x^{2}+2, x<1 \\\ x-2, x \geq 1\end{array} \quad\left(x_{o}=1\right)\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 3a x^{2}+2, & x<1,\\\ x-2, & x\ge1, \end{cases}
e pede para escolher a e b\in\mathbb{R} de modo que f seja contínua em x_{0}=1. O conteúdo é continuidade de função em ponto, que exige que o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função em 1 sejam todos iguais.

Passo 2

Para f ser contínua em x=1 é necessário e suficiente que
\lim_{x\to1^-}f(x)\;=\;\lim_{x\to1^+}f(x)\;=\;f(1).

Passo 3

Calculamos primeiro o limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(3a x^2+2) =3a\cdot1^2+2 =3a+2.

Passo 4

Pela direita, e também no valor de f(1), temos a expressão x-2. Logo,
f(1)=1-2=-1,
e assim \lim_{x\to1^+}f(x)=-1.

Passo 5

Igualando os dois limites ao valor em 1:
3a+2=-1 \quad\Longrightarrow\quad 3a=-3 \quad\Longrightarrow\quad a=-1.
Não há parâmetro b na definição de f, portanto qualquer b\in\mathbb{R} satisfaz (ou seja, b é irrelevante).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Para x<1: parábola y=3a x^2+2 com a=-1, isto é, y=-3x^2+2.
  • Em x=1: ponto (1,-1).
  • Para x\ge1: reta y=x-2, que também passa em (1,-1).
    Assim não há “salto” em x=1.

Resposta

a=-1. Qualquer b\in\mathbb{R}.

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