A respeito de p(x)=a x^3+b x^2+c x+d, c o m a, b, c e d reais, são dadas as seguintes informaçőes:
  • coeficiente dominante de p(x) é unitário;
  • x=-5 é raiz de p(x);
  • a soma das raízes não reais de p(x) vale 8 ;
  • o produto de todas as suas raízes vale -100 .
    a) Dê o conjunto solução da equação p(x)=0.
    b) Determine a, b, c e d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um polinômio do terceiro grau $ p(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d $ com coeficientes reais. As informações que nos foram dadas são:
  • O coeficiente dominante (aquele que está na frente do $ x^3 $) é 1, ou seja, $ a = 1 $.
  • $ x = -5 $ é uma raiz de $ p(x) $, ou seja, $ p(-5) = 0 $.
  • A soma das raízes não reais é 8.
  • O produto de todas as raízes é -100.
Vamos precisar usar propriedades das raízes de polinômios, como a soma e o produto das raízes, além de entender como identificar raízes reais e não reais em polinômios de grau ímpar.

Passo 2

Primeiro, já sabemos que $ a = 1 $. Então, nosso polinômio fica $ p(x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d $.
Sabemos que $ x = -5 $ é uma raiz, então podemos usar isso para fatorar o polinômio. Se $ x = -5 $ é raiz, então $ (x + 5) $ é um fator de $ p(x) $.

Passo 3

Vamos dividir $ p(x) $ por $ (x + 5) $ para encontrar os outros fatores. Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, encontramos:
p(x)
Aqui, $ m $ e $ n $ são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Expandindo a expressão, temos:
p(x) = x^3 + m x^2 + n x + 5 x^2 + 5 m x + 5 n
p(x) = x^3 + (m + 5) x^2 + (n + 5 m) x + 5 n
Comparando com $ p(x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d $, temos:
p(x) = x^3 + b x^2 + c x + d

Passo 5

Agora, vamos usar as propriedades das raízes. Seja $ \alpha = -5 $, $ \beta $ e $ \gamma $ as outras raízes (pode ser real ou complexa).
Pelo Teorema de Vieta, sabemos que:
alpha = -5
beta
gamma
Sabemos que $ \alpha = -5 $ e o produto das raízes é -100, então:
alpha + beta + gamma = -b
alpha beta + alpha gamma + beta gamma = c

Passo 6

Também sabemos que a soma das raízes não reais é 8. Como o polinômio tem coeficientes reais e é de grau ímpar, ele tem pelo menos uma raiz real. Já temos $ \alpha = -5 $ como raiz real, então $ \beta $ e $ \gamma $ podem ser reais ou complexas.
Se $ \beta $ e $ \gamma $ são não reais, elas são conjugadas, e a soma $ \beta + \gamma = 8 $.
Portanto:
alpha = -5
E também sabemos que:
beta

Passo 7

Com $ \beta + \gamma = 8 $ e $ \beta \gamma = 20 $, podemos montar uma equação quadrática cujas raízes são $ \beta $ e $ \gamma $:
beta + gamma = 8
beta gamma = 20
Resolvendo essa equação:
beta
Portanto, as raízes são $ 4 + 2i $ e $ 4 - 2i $.

Passo 8

Agora, podemos escrever o polinômio $ p(x) $ como:
p(x)
Para encontrar os coeficientes $ b, c, d $, vamos expandir esse produto.
Primeiro, multiplicamos os dois últimos fatores:
p(x) = (x + 5)(x - (4 + 2i))(x - (4 - 2i))
Então:
b, c, d
(x - 4 - 2i)(x - 4 + 2i) = (x - 4)^2 - (2i)^2 = x^2 - 8x + 16 - (-4) = x^2 - 8x + 20
p(x) = (x + 5)(x^2 - 8x + 20)
p(x) = x(x^2 - 8x + 20) + 5(x^2 - 8x + 20)

Resposta

a) O conjunto solução da equação $ p(x) = 0 $ é $ {-5, , 4 + 2i, , 4 - 2i} $.
b) Os coeficientes são:
p(x) = 0

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