A respeito de
e
reais, são dadas as seguintes informaçőes:
- coeficiente dominante de
é unitário;
-
é raiz de
;
- a soma das raízes não reais de
vale
- o produto de todas as suas raízes vale -100 .
a) Dê o conjunto solução da equação
.
b) Determine
e
.
a) Dê o conjunto solução da equação
b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um polinômio do terceiro grau $ p(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d $ com coeficientes reais. As informações que nos foram dadas são:
- O coeficiente dominante (aquele que está na frente do $ x^3 $) é 1, ou seja, $ a = 1 $.
- $ x = -5 $ é uma raiz de $ p(x) $, ou seja, $ p(-5) = 0 $.
- A soma das raízes não reais é 8.
- O produto de todas as raízes é -100.
Vamos precisar usar propriedades das raízes de polinômios, como a soma e o produto das raízes, além de entender como identificar raízes reais e não reais em polinômios de grau ímpar.
Passo 2
Primeiro, já sabemos que $ a = 1 $. Então, nosso polinômio fica $ p(x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d $.
Sabemos que $ x = -5 $ é uma raiz, então podemos usar isso para fatorar o polinômio. Se $ x = -5 $ é raiz, então $ (x + 5) $ é um fator de $ p(x) $.
Passo 3
Vamos dividir $ p(x) $ por $ (x + 5) $ para encontrar os outros fatores. Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, encontramos:
Aqui, $ m $ e $ n $ são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Expandindo a expressão, temos:
Comparando com $ p(x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d $, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar as propriedades das raízes. Seja $ \alpha = -5 $, $ \beta $ e $ \gamma $ as outras raízes (pode ser real ou complexa).
Pelo Teorema de Vieta, sabemos que:
Sabemos que $ \alpha = -5 $ e o produto das raízes é -100, então:
Passo 6
Também sabemos que a soma das raízes não reais é 8. Como o polinômio tem coeficientes reais e é de grau ímpar, ele tem pelo menos uma raiz real. Já temos $ \alpha = -5 $ como raiz real, então $ \beta $ e $ \gamma $ podem ser reais ou complexas.
Se $ \beta $ e $ \gamma $ são não reais, elas são conjugadas, e a soma $ \beta + \gamma = 8 $.
Portanto:
E também sabemos que:
Passo 7
Com $ \beta + \gamma = 8 $ e $ \beta \gamma = 20 $, podemos montar uma equação quadrática cujas raízes são $ \beta $ e $ \gamma $:
Resolvendo essa equação:
Portanto, as raízes são $ 4 + 2i $ e $ 4 - 2i $.
Passo 8
Agora, podemos escrever o polinômio $ p(x) $ como:
Para encontrar os coeficientes $ b, c, d $, vamos expandir esse produto.
Primeiro, multiplicamos os dois últimos fatores:
Então:
Resposta
a) O conjunto solução da equação $ p(x) = 0 $ é $ {-5, , 4 + 2i, , 4 - 2i} $.
b) Os coeficientes são: