A equação x^{2}+y^{2}-4=0 define y como função de x ? Qual expressão dessa função?

Passo 1

O enunciado apresenta a curva
x^{2}+y^{2}-4=0
e pergunta se ela define y como função de x e, em caso afirmativo, qual é a expressão de y(x). Vamos usar técnicas de funções implícitas: isolar y e verificar se surge uma única expressão ou ramos distintos.

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar y^{2}, temos
y^{2}=4 - x^{2}.

Passo 3

Extraindo raiz em ambos os lados, obtemos
y=\pm\sqrt{4 - x^{2}}.

Passo 4

Como há o sinal “ +” e o sinal “ -”, não surge uma única função, mas sim dois ramos distintos, cada um definido quando o radicando é não negativo. O domínio comum a ambos é
-2 \le x \le 2.

Resposta

A equação não define uma única função y(x), mas dois ramos:
y_{1}(x)=\sqrt{4 - x^{2}},\quad -2\le x\le 2,
y_{2}(x)=-\sqrt{4 - x^{2}},\quad -2\le x\le 2.

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