© 36. (a) Use evidência numérica para fazer uma conjectura sobre 0 limite da seqüência \left\{\sqrt[n]{3^{n}+n^{3}}\right\}_{n=2}^{+\infty}.
(b) Use um CAS pra confirmar sua conjectura.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n = \sqrt[n]{3^n + n^3}
quando n\to\infty. O conteúdo é limites de sequência e propriedades de raízes. Vamos primeiro coletar evidência numérica e depois usar um CAS para confirmar.

Passo 2

Vamos calcular alguns termos com uma calculadora ou software simples:
  • Para n=2:
a_2 = \sqrt[2]{3^2 + 2^3} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17} \approx 4,1231.
  • Para n=5:
a_5 = \sqrt[5]{3^5 + 5^3} = \sqrt[5]{243 + 125} = \sqrt[5]{368} \approx 3,3403.
  • Para n=10:
a_{10} = \sqrt[10]{3^{10} + 10^3} = \sqrt[10]{59049 + 1000} = \sqrt[10]{60049} \approx 3,1123.
  • Para n=20:
a_{20} = \sqrt[20]{3^{20} + 20^3} \approx 3,0360.
Vemos que esses valores vão decrescendo e se aproximando de 3.

Passo 3

Para entender por quê, note que
a_n = \sqrt[n]{3^n + n^3} = 3 \,\sqrt[n]{1 + \frac{n^3}{3^n}}.
Como \displaystyle \frac{n^3}{3^n}\to0 e sabemos que \sqrt[n]{1+\varepsilon_n}\to1 quando \varepsilon_n\to0, concluímos que a_n\to3.

Passo 4

Em um CAS (por exemplo Mathematica, Maple ou Sympy) basta executar
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n + n^3}
e o software retorna 3, confirmando nossa conjectura.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n + n^3}=3.
(b) O CAS confirma que esse limite vale 3.

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