Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left\{\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}\right\}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

O enunciado define a sequência
\displaystyle a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}, para n=1,2,3,\dots, e pede (i) os cinco primeiros termos, (ii) verificar se converge e (iii) achar o limite caso exista.

Passo 2

Para n=1,2,3,4,5 calculamos
a_1 = \frac{(-1)^{2}}{1^2} = 1, \quad a_2 = \frac{(-1)^{3}}{2^2} = -\frac{1}{4}, \quad a_3 = \frac{(-1)^{4}}{3^2} = \frac{1}{9},
a_4 = \frac{(-1)^{5}}{4^2} = -\frac{1}{16}, \quad a_5 = \frac{(-1)^{6}}{5^2} = \frac{1}{25}.

Passo 3

Para estudar a convergência, observe que
\bigl|a_n\bigr| = \frac{1}{n^2}
e sabemos que \frac{1}{n^2}\to 0 quando n\to\infty. Como \bigl|a_n\bigr|\to0, pelo Teorema do Confronto temos a_n\to0.

Passo 4

Logo, a sequência converge e o seu limite é
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
1,\,-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{9},\,-\tfrac{1}{16},\,\tfrac{1}{25}.
A sequência converge e o limite é 0.

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