Para quais valores positivos de
a seqüência
,
converge? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
ou seja, de forma geral
ou seja, de forma geral
Queremos determinar para quais
essa sequência converge.
Passo 2
Para estudar a convergência de
, separamos duas subsequências:
a parte par e a parte ímpar
. Se
converge, cada uma dessas deve convergir ao mesmo limite.
a parte par
Passo 3
Analisando a subsequência par, temos
logo
Passo 4
Agora a subsequência ímpar é
Sabemos que
- se
, então quando , - se
, então para todo e o limite é , - se
, então e não converge.
Passo 5
Para que
convirja, tanto
quanto
devem existir e ser iguais. Já temos
logo precisamos de
Isso ocorre exatamente quando
.
Resposta
A sequência converge se, e somente se,
, e nesse caso o limite é
.\n