Para quais valores positivos de b a seqüência b, 0, b^{2}, 0, b^{3}, 0, b^{4}, \ldots converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_1=b,\;a_2=0,\;a_3=b^2,\;a_4=0,\;a_5=b^3,\;\dots
ou seja, de forma geral
a_{2k-1}=b^k,\qquad a_{2k}=0.
Queremos determinar para quais b>0 essa sequência converge.

Passo 2

Para estudar a convergência de (a_n), separamos duas subsequências:
a parte par (a_{2k}) e a parte ímpar (a_{2k-1}). Se (a_n) converge, cada uma dessas deve convergir ao mesmo limite.

Passo 3

Analisando a subsequência par, temos
a_{2k}=0\quad\text{para todo }k,
logo
\lim_{k\to\infty}a_{2k}=0.

Passo 4

Agora a subsequência ímpar é
a_{2k-1}=b^k.
Sabemos que
  • se 0<b<1, então b^k\to0 quando k\to\infty,
  • se b=1, então b^k=1 para todo k e o limite é 1,
  • se b>1, então b^k\to+\infty e não converge.

Passo 5

Para que (a_n) convirja, tanto \lim_{k\to\infty}a_{2k} quanto \lim_{k\to\infty}a_{2k-1} devem existir e ser iguais. Já temos
\lim_{k\to\infty}a_{2k}=0,
logo precisamos de
\lim_{k\to\infty}a_{2k-1}=\lim_{k\to\infty}b^k=0.
Isso ocorre exatamente quando 0<b<1.

Resposta

A sequência converge se, e somente se, 0 < b < 1, e nesse caso o limite é 0.\n

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