A equação
x^2 y^prime prime+y=0
possui um ponto singular regular em x=0.
(a) Encontre os expoentes no ponto singular. Res: r1=1 e r2=0.

Passo 1

O problema nos dá a equação
x^2y''+y=0
e pede para encontrar os expoentes de Frobenius em torno de x=0, sabendo que é um ponto singular regular. A matéria envolvida é o método de Frobenius para EDOs com ponto singular regular, e vamos precisar usar a forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
e definir a equação indicial.

Passo 2

Primeiro dividimos a equação original por x^2 para pôr no formato padrão:
y''+ rac1x^2y=0
Assim identificamos
P(x)=0,
Q(x)= rac1x^2

Passo 3

Em seguida verificamos que x=0 é ponto singular regular pois:
xP(x)=0 ext e x^2Q(x)=1
são ambos analíticos em x=0.

Passo 4

Agora assumimos uma solução de Frobenius
y(x)= sumn=0^ tyanx^n+r,
com a0neq0, e calculamos
y’’ para depois substituir na EDO.

Passo 5

Ao substituir em
x^2y''+y=0
os termos de menor potência de x vêm de n=0. Eles dão a equação indicial:
a0igl[r(r-1)+1r]=0 
logo
o indicial é
r(r-1)+1=0

Passo 6

Por fim resolvemos
r^2-r+1=0
cuja fórmula de Bhaskara dá
r= rac1 gráve pm gráve raiz1-42= rac1 gráve pm gráve i,raiz32 áá áá

Resposta

Os expoentes de Frobenius são
r1=1+iraiz32, r2=1-iraiz32

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