A equação
onde
é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
(a) Supondo uma solução em série em torno de
determine o raio (mínimo) de convergência desta solução. Res:
.
(a) Supondo uma solução em série em torno de
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência da solução em série em torno de x₀=0 da equação de Legendre (um EDO de segunda ordem com simetria esférica). Vamos usar o método de séries de potências e a teoria de equações lineares para achar onde a série deixa de convergir.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 dividindo por (1–x²). Assim obtemos
Aqui P(x)=−2x/(1−x²) e Q(x)=α(α+1)/(1−x²). A teoria diz que a solução em série centrada em x₀ se estende até o ponto singular mais próximo de x₀.
Passo 3
As singularidades desta EDO vêm de onde o denominador 1−x²=0, ou seja em x=±1. São pontos regulares de singularidade e a série só pode convergir dentro do intervalo que não atinja essas singularidades.
Passo 4
O raio de convergência ρ é, por definição, a menor distância de x₀=0 a qualquer singularidade, isto é