A equação zx x+zy y=0 ou partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0 é conhecida como equação de LAPLACE. Mostre que as funções abaixo satisfazem esta equação.
z=xx^2+y^2

Passo 1

Queremos mostrar que a função z(x,y)=xx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem usando a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, calcule as derivadas de primeira ordem aplicando a regra do quociente. Definindo z(x,y)=ND com N=x e D=x^2+y^2, obtemos:
zx = 1cdot D - Ncdot 2xD^2 = x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2,
zy = 0cdot D - Ncdot 2yD^2 = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora, calcule zxx derivando zx em relação a x. Aplicando novamente a regra do quociente a y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 com N1=y^2 - x^2 e D1=(x^2+y^2)^2, obtemos
zxx = (-2x),D1 - N1,(4x(x^2+y^2))D1^2 = 2x(x^2 - 3y^2)(x^2+y^2)^3

Passo 4

Em seguida, calcule zyy derivando zy em relação a y. Para -2xy(x^2+y^2)^2 com N2=-2xy e D2=(x^2+y^2)^2, temos
zyy = (-2x),D2 - N2,(4y(x^2+y^2))D2^2 = -2x(x^2 - 3y^2)(x^2+y^2)^3

Passo 5

Por fim, somando as derivadas de segunda ordem dá
zxx + zyy = 2x(x^2 - 3y^2)(x^2+y^2)^3 + -2x(x^2 - 3y^2)(x^2+y^2)^3 = 0
Logo, a função satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Foi verificado que zxx + zyy = 0, ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace.

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