A equação
ou
é conhecida como equação de LAPLACE. Mostre que as funções abaixo satisfazem esta equação.
Passo 1
Queremos mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem usando a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, calcule as derivadas de primeira ordem aplicando a regra do quociente. Definindo
com
e
, obtemos:
Passo 3
Agora, calcule
derivando
em relação a
. Aplicando novamente a regra do quociente a
com
e
, obtemos
Passo 4
Em seguida, calcule
derivando
em relação a
. Para
com
e
, temos
Passo 5
Por fim, somando as derivadas de segunda ordem dá
Logo, a função satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
Foi verificado que
, ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace.