Calcule as integrais indefinidas a seguir usando uma substituição conveniente.
(i) integral sen(pi t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin(pi t),dt, aplicando uma substituição. O conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar reconhecer a derivada de pi t.

Passo 2

Definimos a substituição u = pi t. Assim, a diferencial é du = pi,dt, o que implica dt = dupi.
Substituindo na integral original, temos
integral sin(pi t),dt = integral sin(u) cdot dupi = 1pi integral sin(u),du

Passo 3

Agora, integramos sin(u). Sabemos que integral sin(u),du = -cos(u) + C.
Voltando à variável original t, substituímos u = pi t e obtemos a resposta final.

Resposta

-\frac{1}{\pi},\cos(\pi t) + C

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