A Equação y(x, t)=A cdot sin (w t-k t) para uma onda senoidal pode ser generalizada ainda mais incluindo o ângulo de fase varphi, onde 0 <= varphi <= 2 pi (em radianos). Então, a função de onda y(x, t) se escreve na forma y(x, t)=A cdot cos (k x-w t+varphi). Para t=0, uma particula sobre a corda em x=0 possui deslocamento y=A / raiz2. Essa informação é suficiente para determinar o valor de varphi? Se , além disso, você for informado que uma particula sobre a corda em x=0 se desloca para y=0 no instante t=0, qual é o valor de varphi?

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma equação de onda senoidal generalizada que inclui um ângulo de fase varphi. A equação é dada por:
y(x, t) = A cdot cos(kx - omega t + varphi)
Nosso objetivo é determinar o valor de varphi usando as informações fornecidas. Para isso, vamos precisar entender como a fase varphi afeta o deslocamento da partícula na corda.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que, no instante t = 0 e na posição x = 0, o deslocamento y é igual a A / raiz2. Substituindo esses valores na equação da onda:
y(0, 0) = A cdot cos(k cdot 0 - omega cdot 0 + varphi) = A cdot cos(varphi)
Sabemos que:
y(0, 0) = Araiz2
Portanto:
A cdot cos(varphi) = Araiz2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A (assumindo que A neq 0):
cos(varphi) = 1raiz2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de varphi que satisfaz cos(varphi) = 1raiz2.
Sabemos que cos(pi4) = 1raiz2 e cos(7pi4) = 1raiz2. Portanto, os possíveis valores de varphi que satisfazem essa equação são:
varphi = pi4 ou varphi = 7pi4

Passo 4

A primeira parte da pergunta pergunta se essa informação é suficiente para determinar varphi. Como obtemos dois valores possíveis ( pi4 e 7pi4), essa informação isoladamente não é suficiente para determinar um único valor de varphi.

Passo 5

Agora, vamos considerar a segunda informação: no instante t = 0 e na posição x = 0, a partícula se desloca para y = 0. Vamos usar essa informação adicional para determinar varphi.
Substituindo y(0, 0) = 0 na equação da onda:
0 = A cdot cos(varphi)
Isso implica que:
cos(varphi) = 0
Os valores de varphi que satisfazem essa equação são:
varphi = pi2 ou varphi = 3pi2

Resposta

Com a primeira informação, temos que varphi pode ser pi4 ou 7pi4, mas isso não é suficiente para determinar um único valor. Entretanto, ao adicionar que a partícula se desloca para y = 0 no instante t = 0 e x = 0, concluímos que o valor de varphi é pi2 ou 3pi2.

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