1. Equacione, descreva (explique) e exemplifique cada uma das seguintes Leis: Biot-Savar Ampère, Lenz e Faraday. ( \mathbf{3 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente para cada uma das leis de Biot-Savart, Ampère, Faraday e Lenz: (a) a formulação em equação, (b) a explicação física do que a lei diz e (c) um exemplo prático que ilustre o uso da lei. O assunto é eletromagnetismo, mais precisamente magnetostática (Biot-Savart e Ampère) e indução eletromagnética (Faraday e Lenz).

Passo 2

A lei de Biot-Savart dá o campo magnético gerado por um elemento de corrente. Em forma diferencial, temos
d\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\,,
onde I\,d\boldsymbol{\ell} é o vetor elemento de corrente, \hat{\mathbf{r}} é o versor de quem mede até o ponto onde calculamos \mathbf{B}, e r é a distância. Explicando: você soma (integra) o efeito magnético de cada pedacinho de fio para achar o campo total. Por exemplo, ao integrar essa expressão para um fio retilíneo e infinito, chega-se a
B(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\,,
mostrando que o campo cai como 1/r.

Passo 3

A lei de Ampère relaciona a circulação do campo magnético em um caminho fechado à corrente total que atravessa qualquer superfície delimitada por esse caminho. Matematicamente,
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\mathrm{enc}}\,.
Ela é como um teorema de Gauss para o magnetismo: ao contornar um caminho, a “soma” de \mathbf{B}\cdot d\ell diz quanta corrente está passando dentro do laço. Exemplo: num solenoide longo de densidade de espiras n e corrente I, escolhe-se um retângulo cujo lado interno percorre o interior do solenoide; a lei de Ampère leva a
B = \mu_{0}nI
para o campo dentro do solenoide, e B\approx0 fora.

Passo 4

A lei de Faraday fala que uma variação de fluxo magnético ao longo do tempo cria uma força eletromotriz (fem) num circuito. A equação integral é
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_{B}}{dt}\,,\quad \Phi_{B}=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}\,.
O sinal negativo já antecipa a regra de Lenz: a tensão induzida tende a se opor à mudança do fluxo. Exemplo prático: em um gerador elétrico, uma espira gira num campo constante, fazendo o fluxo variar senoidalmente e gerando uma tensão
\mathcal{E}(t)=NBA\omega\sin(\omega t)\,.

Passo 5

A lei de Lenz complementa Faraday ao determinar o sentido da corrente induzida: ela sempre age para se opor à variação do fluxo que a gerou. Não há outra equação além do sinal “–” em Faraday, mas o enunciado prático é: se você aproxima um ímã de uma bobina, a corrente induzida cria um polo magnético que repele o ímã, diminuindo a mudança de fluxo. Assim, Lenz garante conservação de energia e o princípio de ação e reação.

Resposta

Biot-Savart
d\mathbf{B} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}
Ampère
\oint\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}I_{\mathrm{enc}}
Faraday
\mathcal{E} = -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}
Lenz
o sinal “–” em Faraday indica que a corrente induzida se opõe à variação do fluxo.

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