1. Determine o Campo magnético em um ponto P devido a um fio retilíneo longo utilizando lei de Biot-Savart ( \mathbf{2 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético em um ponto P localizado a uma distância R de um fio retilíneo infinito que conduz corrente I. O conteúdo principal é a lei de Biot–Savart, que relaciona um elemento de corrente a um campo magnético infinitesimal.

Passo 2

A lei de Biot–Savart diz que o campo magnético infinitesimal d\mathbf{B} devido a um elemento de fio d\boldsymbol{\ell} é
d\mathbf{B} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I\,\frac{d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento até o ponto P, r=\|\mathbf{r}\| e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.

Passo 3

Escolhemos o fio ao longo do eixo z, com corrente I no sentido \hat{z}. O ponto P está em (R,0,0). Para um elemento em (0,0,z), temos
d\boldsymbol{\ell} = dz\,\hat{z}, \quad \mathbf{r} = (R\,\hat{x} - z\,\hat{z}), \quad r = \sqrt{R^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial e a magnitude do elemento de campo:
d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r} = dz\,\hat{z}\times(R\,\hat{x}-z\,\hat{z}) = R\,dz\;\hat{z}\times\hat{x} = R\,dz\;\hat{y}_{\varphi},
onde \hat{y}_{\varphi}\equiv\hat{\boldsymbol{\varphi}} é a direção circular em torno do fio. Assim
dB = \frac{\mu_{0}}{4\pi}I\frac{R\,dz}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}, \quad d\mathbf{B}=dB\;\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 5

Integramos z de -\infty a +\infty:
B = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_{0}I}{4\pi}\,\frac{R\,dz}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0}I}{4\pi}R\cdot\frac{2}{R^{2}} = \frac{\mu_{0}I}{2\pi R}.

Resposta

\mathbf{B}(P)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

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