Questão 3. Considere um disco carregado positivamente com densidade superficial de carga uniforme \boldsymbol{\sigma}, raio \mathbf{R}. Determine o campo elétrico e o potencial elétrico criado pelo disco a uma distância \mathbf{z} do seu eixo de simetria. ( \mathbf{3 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(z) e o campo elétrico E(z) num ponto sobre o eixo de simetria de um disco de raio R e densidade superficial de carga uniforme \sigma, a uma distância z do plano do disco.
Conteúdo: lei de Coulomb, princípio da superposição e método do anel elementar. Vamos decompor o disco em anéis de raio r, espessura dr, calcular sua contribuição ao potencial e depois obter o campo.

Passo 2

Potencial de um anel de carga. Um anel de raio r, espessura dr e densidade \sigma tem carga
dq = \sigma\,(2\pi r\,dr).
Num ponto do eixo a distância z do plano do anel, a distância até cada elemento é \sqrt{r^2+z^2}. Então a contribuição de potencial é
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{\sqrt{r^2+z^2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,2\pi r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}.
Para obter o potencial total, integramos r de 0 a R:
V(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_{0}^{R} \frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl[\sqrt{r^2+z^2}\Bigr]_{0}^{R} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \bigl(\sqrt{R^2+z^2}-z\bigr),
onde fixamos V(\infty)=0.

Passo 3

Campo elétrico pela derivada do potencial. Por simetria só há componente ao longo do eixo z,
E_z(z) = -\frac{dV}{dz}.
Derivando
\frac{d}{dz}\bigl(\sqrt{R^2+z^2}-z\bigr) =\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1,
logo
E_z(z) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl(\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\Bigr) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr).
O campo aponta no sentido de afastar cargas positivas do disco (para z>0, E_z>0).

Resposta

V(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\bigl(\sqrt{z^2+R^2}-z\bigr),
E_z(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr).

Exercícios relacionados