Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
d) 3 y-2 z+2=0

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique se a equação dada pode ser a equação de um plano. A equação dada é 3y-2z+2=0. Não há outras equações ou figuras; só essa expressão algébrica em termos de x, y, z (observe que x aparece ausente).

Passo 2

Lembra da forma geral de uma equação de plano em \mathbb{R}^3:
ax+by+cz+d=0
Aqui a, b, c são os coeficientes que formam o vetor normal ao plano \mathbf{n}=(a,b,c), e d é o termo constante. O vetor normal não pode ser o vetor nulo; ou seja, não podemos ter a=b=c=0 porque isso não define um plano (seria uma contradição ou uma equação sem variável).

Passo 3

Compare a equação dada com a forma geral. Em 3y-2z+2=0 o coeficiente de x é zero. Assim podemos identificar:
a=0,\qquad b=3,\qquad c=-2,\qquad d=2.
Logo o vetor normal é
\mathbf{n}=(0,3,-2).
Esse vetor normal é diferente de (0,0,0) (pois tem componentes não nulas), portanto a equação define um plano válido em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Outra forma de ver intuitivamente: resolvendo para z em função de y obtemos
3y-2z+2=0 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{3y+2}{2}.
Note que z depende apenas de y e não depende de x. Isso significa que, para qualquer valor de x, a relação entre y e z é a mesma — portanto a solução é uma superfície plana que se estende na direção x. Em termos geométricos, o plano é paralelo ao eixo x e tem normal \mathbf{n}=(0,3,-2).

Passo 5

Dica prática para a prova: qualquer equação linear do tipo ax+by+cz+d=0 com (a,b,c)\neq(0,0,0) é equação de um plano. Se faltar alguma variável (como x aqui), está tudo bem — basta atribuir coeficiente zero a ela e checar que o vetor normal não é nulo.

Resposta

Sim, 3y-2z+2=0 pode ser a equação de um plano.

Exercícios relacionados