Questão 5 (2,0 Pontos): Calcule a integral indefinida.
\int \frac{5 x-40}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5 x-40}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{5x-40}{(x+2)(x^2+1)}.
  • O denominador está fatorado como o produto de um fator linear (x+2) e um fator quadrático irreduzível (x^2+1).
  • O grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 3), então a função já é própria e está pronta para decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever
\frac{5x-40}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicando por que essa forma: como (x+2) é linear apelamos a um termo \dfrac{A}{x+2}; como x^2+1 é quadrático e irreduzível usamos um numerador linear Bx+C.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+2)(x^2+1) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
5x-40 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+2).
Agora expandimos o lado direito. Primeiro
A(x^2+1)=Ax^2 + A.
E
(Bx+C)(x+2)=Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C = Bx^2 + (2B+C)x + 2C.
Somando:
A(x^2+1)+(Bx+C)(x+2)=(A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C).
Logo a identidade é
5x-40 = (A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes dos polinômios (coeficiente de x^2, de x e termo constante):
  • Coeficiente de x^2: 0 = A+B.
  • Coeficiente de x: 5 = 2B + C.
  • Termo constante: -40 = A + 2C.
Da primeira equação vem
B = -A.
Substituindo em 5 = 2B + C:
5 = 2(-A) + C \quad\Rightarrow\quad C = 5 + 2A.
Substituindo C na terceira equação -40 = A + 2C:
-40 = A + 2(5 + 2A) = A + 10 + 4A = 5A + 10.
Resolvendo:
5A = -50 \quad\Rightarrow\quad A = -10.
Então
B = -A = 10, \qquad C = 5 + 2A = 5 + 2(-10) = -15.

Passo 5

Com A=-10, B=10, C=-15 temos a decomposição
\frac{5x-40}{(x+2)(x^2+1)} = \frac{-10}{x+2} + \frac{10x-15}{x^2+1}.
Separamos em termos mais simples para integrar:
\frac{10x-15}{x^2+1} = \frac{10x}{x^2+1} - \frac{15}{x^2+1}.
Portanto a integral se divide em três integrais conhecidos:
\int \frac{5x-40}{(x+2)(x^2+1)}\,dx = \int \frac{-10}{x+2}\,dx + \int \frac{10x}{x^2+1}\,dx - \int \frac{15}{x^2+1}\,dx.

Passo 6

Integramos cada termo usando fórmulas básicas:
  1. Para \displaystyle \int \frac{-10}{x+2}\,dx: a primitiva de \dfrac{1}{x+2} é \ln|x+2|. Logo
\int \frac{-10}{x+2}\,dx = -10\ln|x+2|.
  1. Para \displaystyle \int \frac{10x}{x^2+1}\,dx: fazemos a substituição u=x^2+1, então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{10x}{x^2+1}\,dx = 5\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = 5\int \frac{du}{u} = 5\ln u = 5\ln(x^2+1).
Observação: x^2+1>0 para todo x, então não precisamos das barras de valor absoluto dentro do log.
  1. Para \displaystyle \int \frac{15}{x^2+1}\,dx: usamos que \displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan x. Logo
\int \frac{15}{x^2+1}\,dx = 15\arctan x.
Com o sinal negativo do passo anterior temos -15\arctan x.

Passo 7

Somando as três primitivas obtemos a antiderivada geral:
-10\ln|x+2| + 5\ln(x^2+1) -15\arctan x + C,
onde C é a constante de integração. Podemos deixar nesse formato ou combinar os logaritmos se preferir.

Resposta

-10\ln|x+2|+5\ln(x^2+1)-15\arctan x + C

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