Questão 5 (2,0 Pontos): Calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é a função racional
. - O denominador está fatorado como o produto de um fator linear
e um fator quadrático irreduzível . - O grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador ( ), então a função já é própria e está pronta para decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever
onde
são constantes a determinar. Explicando por que essa forma: como
é linear apelamos a um termo
; como
é quadrático e irreduzível usamos um numerador linear
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Agora expandimos o lado direito. Primeiro
E
Somando:
Logo a identidade é
Passo 4
Agora igualamos coeficientes dos polinômios (coeficiente de
, de
e termo constante):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Da primeira equação vem
Substituindo em
:
Substituindo
na terceira equação
:
Resolvendo:
Então
Passo 5
Com
,
,
temos a decomposição
Separamos em termos mais simples para integrar:
Portanto a integral se divide em três integrais conhecidos:
Passo 6
Integramos cada termo usando fórmulas básicas:
- Para
: a primitiva de é . Logo
- Para
: fazemos a substituição , então . Assim
Observação:
para todo
, então não precisamos das barras de valor absoluto dentro do log.
- Para
: usamos que . Logo
Com o sinal negativo do passo anterior temos
.
Passo 7
Somando as três primitivas obtemos a antiderivada geral:
onde
é a constante de integração. Podemos deixar nesse formato ou combinar os logaritmos se preferir.