Para as equações abaixo, complete os quadrados para identificar a cônica, encontre seu centro ou vértice, e esboce a região do plano que satisfaz a inequação associada:
4 x^{2}+y^{2}-16 x-4 y+16 \leq 0

Passo 1

O enunciado dá a inequação
4x^{2}+y^{2}-16x-4y+16 \leq 0
e pede três coisas:
  1. completar os quadrados para identificar que cônica é essa;
  2. encontrar o centro (ou vértice, quando for o caso);
  3. esboçar (descrever) a região do plano que satisfaz a inequação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Coeficiente de x^{2} é 4 (positivo).
  • Coeficiente de y^{2} é 1 (positivo).
  • Não há termo misto xy.
  • Há termos lineares em x e em y (respectivamente -16x e -4y) e uma constante +16.

Passo 2

Explicação do método de completar quadrados (recapitulando o que vamos usar, devagarinho):
  • Para completar o quadrado numa expressão do tipo ax^{2}+bx é útil fatorar a e escrever
ax^{2}+bx = a\biggl(x^{2}+\frac{b}{a}x\biggr).
Então completa-se o quadrado dentro do parêntese usando
x^{2}+\frac{b}{a}x = \Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}.
  • O mesmo vale para a variável y. A ideia é transformar cada parte quadrática em uma forma como \text{coef}\cdot(\text{variável} - \text{centro})^{2} + \text{constante}á. Isso deixa a equação reconhecível como uma elipse, parábola ou hipérbole dependendo dos sinais e coeficientes.

Passo 3

Aplicando o procedimento ao termo em x. Pegamos 4x^{2}-16x. Primeiro fatoramos o 4:
4x^{2}-16x = 4\bigl(x^{2}-4x\bigr).
Agora completamos o quadrado dentro:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Portanto
4x^{2}-16x = 4\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) = 4(x-2)^{2}-16.

Passo 4

Agora a parte em y: y^{2}-4y. Completando o quadrado:
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Logo y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.

Passo 5

Substituímos as expressões completadas na inequação original. Começando da expressão completa:
4x^{2}+y^{2}-16x-4y+16.
Usando os resultados dos passos anteriores temos
4x^{2}-16x = 4(x-2)^{2}-16, \qquad y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Então
4x^{2}+y^{2}-16x-4y+16 = \bigl[4(x-2)^{2}-16\bigr] + \bigl[(y-2)^{2}-4\bigr] + 16.
Somando as constantes -16-4+16 = -4, obtemos
4x^{2}+y^{2}-16x-4y+16 = 4(x-2)^{2} + (y-2)^{2} -4.

Passo 6

Reescrevendo a inequação com essa forma:
4(x-2)^{2} + (y-2)^{2} -4 \leq 0
que equivale a
4(x-2)^{2} + (y-2)^{2} \leq 4.
Dividindo ambos os lados por 4 para pôr na forma padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{1} + \frac{(y-2)^{2}}{4} \leq 1.
Esta é a forma padrão de uma elipse centrada em (2,2), com semi-eixo ao longo de x igual a a=1 (porque a^{2}=1) e semi-eixo ao longo de y igual a b=2 (porque b^{2}=4). Como ambos os quadrados têm coeficiente positivo, trata-se realmente de uma elipse (e a inequação com \leq indica a região interna incluindo a fronteira).

Passo 7

Encontrando o centro e os vértices (pontos importantes para desenhar):
  • Centro: \bigl(2,2\bigr).
  • Vértices no eixo x (deslocamento a=1 do centro): \bigl(2\pm 1,\,2\bigr), ou seja \bigl(3,2\bigr) e \bigl(1,2\bigr).
  • Vértices no eixo y (deslocamento b=2 do centro): \bigl(2,\,2\pm 2\bigr), ou seja \bigl(2,4\bigr) e \bigl(2,0\bigr).
Descrição para esboçar a região (passo a passo prático para a prova):
  1. Marcar o centro em \bigl(2,2\bigr).
  2. Marcar os quatro vértices \bigl(3,2\bigr), \bigl(1,2\bigr), \bigl(2,4\bigr), \bigl(2,0\bigr).
  3. Desenhar a elipse que passa por esses quatro vértices (curva fechada simétrica em torno do centro).
  4. A região que satisfaz a inequação é o interior dessa elipse mais a fronteira (sombrear o interior e incluir a curva).
Observação final rápida: se fosse pedido o comprimento dos eixos, o eixo maior tem comprimento 2b=4 (vertical) e o eixo menor tem comprimento 2a=2 (horizontal).

Resposta

Elipse: \dfrac{(x-2)^{2}}{1}+\dfrac{(y-2)^{2}}{4}\leq 1
Centro: \bigl(2,2\bigr)
Vértices: \bigl(3,2\bigr),\\ \bigl(1,2\bigr),\\ \bigl(2,4\bigr),\\ \bigl(2,0\bigr)
Região: interior e fronteira da elipse centrada em \bigl(2,2\bigr) com semi-eixos a=1 (horizontal) e b=2 (vertical).

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