Para as equações abaixo, complete os quadrados para identificar a cônica, encontre seu centro ou vértice, e esboce a região do plano que satisfaz a inequação associada:
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede três coisas:
- completar os quadrados para identificar que cônica é essa;
- encontrar o centro (ou vértice, quando for o caso);
- esboçar (descrever) a região do plano que satisfaz a inequação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Coeficiente de
é (positivo). - Coeficiente de
é (positivo). - Não há termo misto
. - Há termos lineares em
e em (respectivamente e ) e uma constante .
Passo 2
Explicação do método de completar quadrados (recapitulando o que vamos usar, devagarinho):
- Para completar o quadrado numa expressão do tipo
é útil fatorar e escrever
Então completa-se o quadrado dentro do parêntese usando
- O mesmo vale para a variável
. A ideia é transformar cada parte quadrática em uma forma como . Isso deixa a equação reconhecível como uma elipse, parábola ou hipérbole dependendo dos sinais e coeficientes.
Passo 3
Aplicando o procedimento ao termo em
. Pegamos
. Primeiro fatoramos o
:
Agora completamos o quadrado dentro:
Portanto
Passo 4
Agora a parte em
:
. Completando o quadrado:
Logo
.
Passo 5
Substituímos as expressões completadas na inequação original. Começando da expressão completa:
Usando os resultados dos passos anteriores temos
Então
Somando as constantes
, obtemos
Passo 6
Reescrevendo a inequação com essa forma:
que equivale a
Dividindo ambos os lados por
para pôr na forma padrão:
Esta é a forma padrão de uma elipse centrada em
, com semi-eixo ao longo de
igual a
(porque
) e semi-eixo ao longo de
igual a
(porque
). Como ambos os quadrados têm coeficiente positivo, trata-se realmente de uma elipse (e a inequação com
indica a região interna incluindo a fronteira).
Passo 7
Encontrando o centro e os vértices (pontos importantes para desenhar):
- Centro:
. - Vértices no eixo
(deslocamento do centro): , ou seja e . - Vértices no eixo
(deslocamento do centro): , ou seja e .
Descrição para esboçar a região (passo a passo prático para a prova):
- Marcar o centro em
. - Marcar os quatro vértices
, , , . - Desenhar a elipse que passa por esses quatro vértices (curva fechada simétrica em torno do centro).
- A região que satisfaz a inequação é o interior dessa elipse mais a fronteira (sombrear o interior e incluir a curva).
Observação final rápida: se fosse pedido o comprimento dos eixos, o eixo maior tem comprimento
(vertical) e o eixo menor tem comprimento
(horizontal).
Resposta
Elipse:
Centro:
Vértices:
Região: interior e fronteira da elipse centrada em com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Centro:
Vértices:
Região: interior e fronteira da elipse centrada em