Para as equações abaixo, complete os quadrados para identificar a cônica, encontre seu centro ou vértice, e esboce a região do plano que satisfaz a inequação associada:
Passo 1
O enunciado dá a inequação
O que é pedido:
- Completar os quadrados para identificar a cônica.
- Encontrar o centro (ou vértice, se fosse parábola) da cônica.
- Esboçar a região do plano que satisfaz a inequação associada (ou seja, dizer qual parte do plano está descrita por essa desigualdade).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos são
para
e
para
; há termos lineares
e
; há constante
.
Passo 2
Estratégia (técnica que vamos usar): agrupar termos em
e em
e completar o quadrado em cada grupo. Vou explicar exactamente o que é “completar o quadrado”.
Mini-aula sobre completar o quadrado:
- Para uma expressão quadrática em
do tipo , a identidade útil é
Isto vem de expandir
. Então para “completar o quadrado” adiciona-se e subtrai-se
de modo a reescrever a expressão como um quadrado perfeito menos uma constante.
- Mesma ideia para
: escrevemos
Vou aplicar isso aos termos em
e
da inequação.
Passo 3
Completar o quadrado para os termos em
:
A parte em
é
. Aqui
, então
e
Explicando passo a passo:
, logo para recuperar
subtrai-se
.
Passo 4
Completar o quadrado para os termos em
:
A parte em
é
. Aqui
, então
e
Explicando:
, então subtrai-se
para ficar com
.
Passo 5
Substituir as decomposições em toda a inequação e simplificar constantes:
Começamos com
Substituindo
e
,
Agora somar as constantes
. Temos
. Portanto a inequação vira
Isolando o somatório de quadrados,
Passo 6
Identificação da cônica e interpretação geométrica:
A expressão obtida
é a equação padrão de um círculo. Em geral, a equação de um círculo de centro
e raio
é
Comparando, aqui
,
e
, logo o raio é
.
Portanto:
- A cônica é um círculo.
- O centro é
. - O raio é
.
Passo 7
Interpretação da inequação (região do plano que satisfaz):
A inequação
significa "o conjunto de pontos cuja distância ao ponto
é menor ou igual a
". Em palavras: a região é o disco fechado (ou disco com fronteira) de centro
e raio
. “Fechado” porque o sinal
inclui a fronteira (a circunferência).
Passo 8
Pontos úteis para desenhar e verificar — como esboçar no exame sem calculadora:
- Pontos na fronteira (usados para traçar a circunferência):
- ponto à direita:
, - ponto à esquerda:
, - ponto acima:
, - ponto abaixo:
.
Esses quatro pontos estão todos a distânciado centro, portanto pertencem à fronteira.
- ponto à direita:
- Exemplo de um ponto dentro:
. Verificação:
logo
está dentro do disco.
- Exemplo de um ponto fora:
. Verificação:
logo
está fora.
- Como esboçar: desenhar os eixos, marcar o centro em
, marcar os quatro pontos acima e desenhar uma circunferência passando por eles; em seguida preencher (ou hachurar) a região interna incluindo a fronteira.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (prático e amigável):
- Se vir
, o centro é e o raio é . Aqui , , dá exatamente o resultado acima. - Sempre confira completando o quadrado e somando constantes; é a maneira mais segura.
- Respira fundo — você já consegue transformar e desenhar isso rapidinho no exame.
Resposta
Cônica: círculo com centro
e raio
.
Região: disco fechado .
Região: disco fechado