Para as equações abaixo, complete os quadrados para identificar a cônica, encontre seu centro ou vértice, e esboce a região do plano que satisfaz a inequação associada:
x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+9 \leq 0

Passo 1

O enunciado dá a inequação
x^{2}+y^{2}-4x+6y+9 \leq 0
O que é pedido:
  • Completar os quadrados para identificar a cônica.
  • Encontrar o centro (ou vértice, se fosse parábola) da cônica.
  • Esboçar a região do plano que satisfaz a inequação associada (ou seja, dizer qual parte do plano está descrita por essa desigualdade).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para x^{2} e 1 para y^{2}; há termos lineares -4x e +6y; há constante +9.

Passo 2

Estratégia (técnica que vamos usar): agrupar termos em x e em y e completar o quadrado em cada grupo. Vou explicar exactamente o que é “completar o quadrado”.
Mini-aula sobre completar o quadrado:
  • Para uma expressão quadrática em x do tipo x^{2}+bx, a identidade útil é
x^{2}+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Isto vem de expandir \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}=x^{2}+bx+\dfrac{b^{2}}{4}. Então para “completar o quadrado” adiciona-se e subtrai-se \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} de modo a reescrever a expressão como um quadrado perfeito menos uma constante.
  • Mesma ideia para y^{2}+cy: escrevemos
y^{2}+cy=\left(y+\frac{c}{2}\right)^{2}-\left(\frac{c}{2}\right)^{2}.
Vou aplicar isso aos termos em x e y da inequação.

Passo 3

Completar o quadrado para os termos em x:
A parte em x é x^{2}-4x. Aqui b=-4, então \dfrac{b}{2}=-2 e
x^{2}-4x=\left(x-2\right)^{2}-(-2)^{2}=\left(x-2\right)^{2}-4.
Explicando passo a passo: \left(x-2\right)^{2}=x^{2}-4x+4, logo para recuperar x^{2}-4x subtrai-se 4.

Passo 4

Completar o quadrado para os termos em y:
A parte em y é y^{2}+6y. Aqui c=6, então \dfrac{c}{2}=3 e
y^{2}+6y=\left(y+3\right)^{2}-3^{2}=\left(y+3\right)^{2}-9.
Explicando: \left(y+3\right)^{2}=y^{2}+6y+9, então subtrai-se 9 para ficar com y^{2}+6y.

Passo 5

Substituir as decomposições em toda a inequação e simplificar constantes:
Começamos com
x^{2}+y^{2}-4x+6y+9 \leq 0.
Substituindo x^{2}-4x=\left(x-2\right)^{2}-4 e y^{2}+6y=\left(y+3\right)^{2}-9,
\left(x-2\right)^{2}-4 + \left(y+3\right)^{2}-9 + 9 \leq 0.
Agora somar as constantes -4-9+9. Temos -4-9+9=-4. Portanto a inequação vira
\left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}-4 \leq 0.
Isolando o somatório de quadrados,
\left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2} \leq 4.

Passo 6

Identificação da cônica e interpretação geométrica:
A expressão obtida \left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}=4 é a equação padrão de um círculo. Em geral, a equação de um círculo de centro (h,k) e raio r é
\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}.
Comparando, aqui h=2, k=-3 e r^{2}=4, logo o raio é r=2.
Portanto:
  • A cônica é um círculo.
  • O centro é \bigl(2,-3\bigr).
  • O raio é 2.

Passo 7

Interpretação da inequação (região do plano que satisfaz):
A inequação
\left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2} \leq 4
significa "o conjunto de pontos cuja distância ao ponto (2,-3) é menor ou igual a 2". Em palavras: a região é o disco fechado (ou disco com fronteira) de centro (2,-3) e raio 2. “Fechado” porque o sinal \leq inclui a fronteira (a circunferência).

Passo 8

Pontos úteis para desenhar e verificar — como esboçar no exame sem calculadora:
  • Pontos na fronteira (usados para traçar a circunferência):
    • ponto à direita: \bigl(2+2,-3\bigr)=(4,-3),
    • ponto à esquerda: \bigl(2-2,-3\bigr)=(0,-3),
    • ponto acima: \bigl(2,-3+2\bigr)=(2,-1),
    • ponto abaixo: \bigl(2,-3-2\bigr)=(2,-5).
      Esses quatro pontos estão todos a distância 2 do centro, portanto pertencem à fronteira.
  • Exemplo de um ponto dentro: (3,-3). Verificação:
\left(3-2\right)^{2}+\left(-3+3\right)^{2}=1^{2}+0^{2}=1\leq 4,
logo (3,-3) está dentro do disco.
  • Exemplo de um ponto fora: (2,0). Verificação:
\left(2-2\right)^{2}+\left(0+3\right)^{2}=0+9=9>4,
logo (2,0) está fora.
  • Como esboçar: desenhar os eixos, marcar o centro em (2,-3), marcar os quatro pontos acima e desenhar uma circunferência passando por eles; em seguida preencher (ou hachurar) a região interna incluindo a fronteira.

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (prático e amigável):
  • Se vir x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0, o centro é \left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right) e o raio é \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{E}{2}\right)^{2}-F}. Aqui D=-4, E=6, F=9 dá exatamente o resultado acima.
  • Sempre confira completando o quadrado e somando constantes; é a maneira mais segura.
  • Respira fundo — você já consegue transformar e desenhar isso rapidinho no exame.

Resposta

Cônica: círculo com centro (2,-3) e raio 2.
Região: disco fechado \left(x-2\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\leq 4.

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