As equações abaixo são redutíveis a lineares. Resolva-as:
d yd x+2 x y-x y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx + 2x,y - x,y^2 = 0
que é uma equação de Bernoulli (contém y^2). Para resolver, vamos reescrevê-la na forma
dydx + P(x),y = Q(x),y^n
e usar a substituição u = y^1-n.

Passo 2

Colocamos a equação na forma-padrão de Bernoulli:
dydx + 2x,y = x,y^2
Aqui temos P(x)=2x, Q(x)=x e o expoente n=2.

Passo 3

Para a equação de Bernoulli, a substituição é
u = y^1-n = y^-1
Calculamos du/dx em função de dy/dx:
u = y^-1 Longrightarrow dudx = -,y^-2,dydx

Passo 4

Usamos a expressão de dydx vinda da forma-padrão:
dydx = -2x,y + x,y^2
Logo
dudx = -,y^-2l(-2x,y + x,y^2r) = 2x,y^-1 - x = 2x,u - x
Isso dá a equação linear em u:
dudx - 2x,u = -,x

Passo 5

Resolvemos a linear
dudx - 2x,u = -,x
por fator integrante. Aqui Pu(x) = -2x, então
mu(x) = expl(integral -2x,dxr) = exp(-x^2)
Multiplicando tudo por exp(-x^2), obtemos
ddxl(u,e^-x^2r) = -,x,e^-x^2
Integrando em x:
u,e^-x^2 = integral -,x,e^-x^2,dx = tfrac12,e^-x^2 + C,
pois ddxe^-x^2 = -2x,e^-x^2.

Passo 6

Isolando u:
u = 12 + C,e^x^2
Voltando à substituição u=y^-1, temos
1y = 12 + C,e^x^2
e portanto
y(x) = 1tfrac12 + C,e^x^2 = 21 + K,e^x^2,
onde K = 2C é constante arbitrária.

Resposta

boxedy(x) = 21 + K,e^x^2,
com K constante de integração.

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