As equações abaixo são redutíveis a lineares. Resolva-as:
x^2 d y+y d x=2 x^2 e^1x d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^2,dy + y,dx = 2,x^2e^1x,dx
Esta equação é redutível a uma equação linear de primeira ordem em y(x). Vamos transformá-la no formato padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
e então usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^2 (supondo xneq0), obtemos
dydx + yx^2 = 2,e^1x
Aqui identificamos
P(x) = 1x^2 e Q(x) = 2,e^1x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = exp!gl(integral P(x),dxgr) = exp!gl(integral 1x^2,dxgr) = exp!l(-tfrac1xr)

Passo 4

Multiplicando a equação linear por mu(x)=e^-1/x, temos
e^-1xdydx + 1x^2,e^-1x,y = 2,e^1x,e^-1x = 2
O lado esquerdo é agora a derivada do produto y,e^-1/x, ou seja,
ddx!l(y,e^-1xr) = 2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-1x = integral 2,dx = 2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y = l(2x + Cr),e^1x

Resposta

y = l(2x + Cr),e^1x

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